Zeige das die quadratische Gleichung genau zwei Lösungen besitzt

Question

Zeigen Sie, dass die quadratische Gleichung \( w^{2}=z \) in \( \mathbb{C} \) für \( z \neq 0 \) genau zwei Lösungen \( w_{1}, w_{2} \) besitzt, und es gilt \( w_{2}=-w_{1} \).

Leider keine richtige Idee wie ich anfangen soll.

Was ich bisher aufgeschrieben habe:

\( w^2=z\)

\(\sqrt{w}=z^2\)

\(+- \sqrt{w}=z^2\)

\(w_{2}=z^2\)

\(-w_{1}=z^2\)

\( \sqrt{x} \)

Answer 1

Hallo,

du kannst ja deine Gleichung zunächst gemäß den Körperaxiomen und unter Verwendung der dritten binomischen Formel so umformen:

Wir betrachten mal zwei Gleichungen der Form

\(\omega^2=z\) und \(\mu^2=z\), wobei \(z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}\).

Damit erhält man durch Subtrahieren beider Gleichungen

\(0=z-z=\omega^2-\mu^2=(\omega+\mu)\cdot (\omega-\mu)\)

Was kannst du jetzt sagen?

Comments

Hilft mir leider noch nicht weiter. :/

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@hallo97: Die Existenz von √z muss in diesem Zusamenhang erst gezeigt werden. Dazu reichen die Körperaxiome nicht aus.

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@Gast jc2144: Danke. Da hast du recht. Ich habe es oben angepasst, um die Wurzel zu umgehen.

@Katluvia: Wann ist denn die obige Gleichung ,,=0"?

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@hallo97, wenn \( \omega\) und \(\mu\) gleich sind. \( \omega\)=± \( \omega\) und \(\mu\)=±\(\mu\), oder?

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ω=± \( \omega\) und \(\mu\)=±\(\mu\), oder?

Nein. Es ist nach \(\omega\) gefragt. Welche Werte muss \(\omega\) annehmen, damit der Ausdruck \((\omega+\mu)\cdot (\omega-\mu)\) gleich Null ist?

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Additiv Inverses von \(\mu\) ?

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Additiv Inverses von \(\mu\) ?

Geht in die richtige Richtung, aber da ist auch \(-\mu\) im Ausdruck enthalten.

Also wird der Ausdruck bei \(\omega=-\mu\) oder \(\omega=\mu\) gleich Null. Damit ist die Existenz von genau zwei Lösungen \(\omega_1=-\mu\) und \(\omega_2=\mu\) nachgewiesen.