Wie kann ich diese Ungleichung lösen?

Question

Ich habe Schwierigkeiten dabei diese Ungleichung zu lösen?

Aufgabe:

Gesucht sind alle reellen Zahlen $x,$ die die Ungleichung

$$\frac{x+2}{x-2}>x-4$$

erfüllen.

Comments

Du kannst dir Fallunterscheidungen ersparen, wenn du die Ungleichung nicht mit x-2, sondern (x-2)² multiplizierst.

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Du kannst dir Fallunterscheidungen ersparen, wenn du die Ungleichung nicht mit x-2, sondern (x-2)2 multiplizierst.

Eine (Un-)gleichung dritten Grades lässt sich ja auch viel "schöner" lösen...

;-)

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Allerdings! An (x-1)(x-2)(x-6)<0 lässt sich die Lösungsmenge unmittelbar ablesen.

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Spacko hatte schon weiter gedacht

Man erhält

(x+2)*(x-2)>(x-4)*(x-2)² | -(x+2)(x-2)

0>[(x-4)*(x-2)-(x+2)](x-2)

0>(x-1)(x-6)(x-2)

was sich nun mit einer Vorzeichentabelle lösen lässt.

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Ja, das ist clever.

Answer 1

Hallo,

Um den Bruch weg zu bekommen, ist sicher das Bedürfnis da, mit $(x-2)$ zu multiplizieren ;-). Dabei muss man unterscheiden, ob dieser Term positiv oder negativ ist. Der Fall $x-2=0$ entfällt, da der Term im Nenner steht.

Mal angenommen er ist positiv, d.h. $x-2 \gt 0 \implies x \gt 2$ $$\begin{aligned} \frac{x+2}{x-2} &\gt x -4 && |\, x \gt 2\\ x+ 2 &\gt x^2 - 6x + 8 \\ 0 &\gt x^2 - 7x + 6 \\ 0 &\gt (x-6)(x-1) \\ & \implies 1 \lt x \lt 6 \\ & \begin{aligned}\implies \mathbb L_1 &= \{x |\, (1 \lt x \lt 6) \land (x \gt 2)\} \\&= \{x|\, 2 \lt x \lt 6\}\end{aligned}\end{aligned}$$Dann betrachten wir den Fall, wenn $x-2 \lt 0$ ist - also $x \lt 2$. Hier 'dreht' sich der $\gt$-Operator$$\begin{aligned} \frac{x+2}{x-2} &\gt x -4 && |\, x \lt 2\\ x+ 2 &\lt x^2 - 6x + 8 \\ 0 &\lt x^2 - 7x + 6 \\ 0 &\lt (x-6)(x-1) \\ & \implies (1 \lt x) \lor ( x \gt 6) \\ & \begin{aligned}\implies \mathbb L_2 &= \{x|\, ((1 \lt x) \lor ( x \gt 6)) \land (x \lt 2)\} \\ &= \{x|\, x \lt 1\}\end{aligned} \end{aligned}$$Fasst man die beiden Lösungsmengen zusammen, so erhält man $$\mathbb L = \{x| \, (x \lt 1) \lor ( 2 \lt x \lt 6)\}$$ein Blick auf die Graphen der Terme der linken und rechten Seite der Ungleichung zeigt, dass das Ergebnis Sinn macht.

Plotlux öffnen

f₁(x) = (x+2)/(x-2)f₂(x) = x-4x = 2f₃(x) = ((x+2)/(x-2))>(x-4)Zoom: x(-5…8) y(-4…5)

Gruß Werner

Comments

Durch deine Antwort habe ich es so weit gebracht, ist dies korrekt?

Für x >2 (größer gleich)
$$\begin{array}{rl} n g: \frac{x+2}{x-2}>x-4 & 1-x+4 \\ \Leftrightarrow \frac{x+2}{x-2}-x+4>0 & \Leftrightarrow \frac{x+2}{x-2}-\frac{x(x-2)}{1(x-2)}+\frac{4(x-2)}{1(x-2)} \\ & \Leftrightarrow \frac{x+2}{x-2}-\frac{x^{2}+2 x}{x-2}+\frac{4 x-8}{x-2} \\ & \Leftrightarrow \frac{x+2-x^{2}+2 x+4 x-8}{x-2}>0 \end{array}$$
$\Leftrightarrow \frac{7 x-x^{2}-6}{x-2}>0$
$$\Leftrightarrow \frac{-(x-6)(x-1)}{x-2}>0$$

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Ja - das ist korrekt!

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Meine Frage ist jetzt wie ich aus meiner letzten Zeile auf die Lösungsmenge komme?

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Ein Bruch ist größer als 0, wenn

- entweder Zähler UND Nenner positiv sind

- oder Zähler UND Nenner negativ sind.

Answer 2

Verwende den Rechenbefehl "mal (x-2)" und mache bei seiner Anwendung die Fallunterscheidung

x>2 (Relationszeichen bleibt wie es ist)

und

x<2 (Relationszeichen muss umgedreht werden).

Es entsteht in beiden Fällen eine quadratische Ungleichung.

Answer 3

( x + 2 ) / ( x -2 ) > x - 4

Fallunterscheidungen
a.) x - 2 > 0
x > 2
Es gilt
x + 2 > ( x - 4 ) * ( x - 2 )
x + 2 > x² -4x - 2x + 8
 2  - 8 > x² -6x - x

x² - 7x < -6
x² - 7x + (7/2)² - ( 7/2)² < - 6
( x - 7/2) ) ² < - 6 + 49/4
( x - 7/2) ) ² < 25/4
- √  (25/4 ) < x - 7/2 < √  (25/4 )
- 5/2 < x - 7/2 < 5/2
1 < x < 6
Zusammen mit der Eingangsvroaussetzung x > 2
2 < x < 6

Fallunterscheidungen
a.) x - 2 < 0
x < 2
Es gilt
Relationszeichen dreht sich um
x + 2 < ( x - 4 ) * ( x - 2 )
x + 2 < x² -4x - 2x + 8
2  - 8 < x² -6x - x

x² - 7x > -6
x² - 7x + (7/2)² - ( 7/2)² > - 6
( x - 7/2) ) ² > - 6 + 49/4
( x - 7/2) ) ² > 25/4
x - 7/2 > 5/2
x > 6
und
- ( x - 7/2 ) > 5/2
-x + 7/2 > 5/2
-x > -2/2 |
-x > -1
x < 1

Zusammmen mit der Eingangsvoraussetzung x < 2
( x > 6) und ( x < 2 ) keine Schnittmenge

( x < 1 ) und ( x < 2 )   =>  x < 1

Insgesamt
( 2 < x < 6 ) und ( x < 1)

Graphisch überprüft