Question

Welchen Winkel schließt e₁ mit e₂ : 2x+y-2z=0 ein?

e₁:$$\begin{pmatrix} 1\\0 \\ 1\end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix} 2\\1\\1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} -1\\1\\1 \end{pmatrix}$$

Ich würde jetzt zuerst mal die beiden n-Vektoren von der Ebene (e₁) und (e₂) bestimmen.

n-Vektor von e₁ kann man ablesen b=(2,1,-2)

Bei e₁ bilde ich das Kreuzprodukt aus den beiden Richtungsvektoren, um den n-Vektor (b) zu bestimmen.

$$a=\begin{pmatrix} 2\\1\\1\end{pmatrix}X\begin{pmatrix} -1\\1\\1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0\\-3\\3 \end{pmatrix}$$

Jetzt setzte ich nur noch in die Formel und ziehe den arccos und bekomme dann den Winkel, richtig?

$$cos(α)=\frac{|\begin{pmatrix} a1\\a2\\a3 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} b1\\b2 \\b3 \end{pmatrix}|}{|\begin{pmatrix} a1\\a2\\a3 \end{pmatrix}|*|\begin{pmatrix} b1\\b2\\b3\end{pmatrix}|}$$

α = cos^-1(  |a*b|/ |a|*|b| )  ⇒ 135°

Die Lösung ist 135°.Wäre Jemand so gut und könnte das mal selbst nachrechnen und mir sagen ob das Sinn macht. Ich denke ich hab da irgendwas falsch gemacht.

Answer 1

α = ARCCOS( |[0, -3, 3]·[2, 1, -2]| / (|[0, -3, 3]|·|[2, 1, -2]|) ) = 45°

Du hast also fast nichts falsch gemacht. Ebenen schneiden sich immer in zwei Winkeln. Einen Winkel und sein Nebenwinkel. Du hast also den Nebenwinkel zu 45° angegeben. Allerdings gibt man als Schnittwinkel immer den kleineren der beiden Winkel an. Vermutlich hast du nicht den Betrag im Zähler des Bruches genommen.

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Danke für deine Antwort :)