Ist M= {A=((1,0)(0,0)), B=((0,0)(-1,2)), C=(80,0)(3,0)), D=((2,0)(0,-1)) eine Basis des R2,2?

Question

Gegeben seien die Matrizen A=  1  0        B=   0  0        C=     0  0          D=    2  0

                                                           0  0              -1  2                   3  0                   0 -1

Weiter sei M= {A,B,C,D}.

Ist M eine Basis des R2,2  ?

Wäre für jegliche Hilfe sehr dankbar :)

Answer 1

Nein, M ist keine Basis des R ^2,2, da sich z.B. die Matrix

$$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\in { R }^{ 2,2 }$$

nicht als Linearkombination der vier angegebenen Matrizen darstellen lässt, da alle diese Matrizen oben rechts den Eintrag 0 haben. Alle Linearkombinationen dieser Matrizen haben daher oben rechts ebenfalls den Eintrag 0.

Comments

Kann man auch so behaupten, dass man sagt die Determinante von A, B, C ist 0-> daraus folgt, dass M eine abhängige Matrix ist und deshalb-> keine Basis ? Für eine Basis gilt: - EZS (Erzeugendensystem) und unabhängig...

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dass M eine abhängige Matrix ist

M ist keine Matrix.

 

Kann man auch so behaupten,...

Nein, das kann man nicht.sagen. Betrachte die Standardbasis B des R ^2,2 :

$$B=\left( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right)$$

Die Determinanten aller Matrizen aus B haben den Wert 0. Dennoch handelt es sich bei B um eine Basis des R ^2,2 . Daraus, dass alle Determinanten aus B den Wert 0 haben, folgt also nicht, dass B keine Basis ist.