Kreuzprodukt: (-7 4 -1)? Ist das das richtige Ergebnis

Question

Aufgabe: geben die den Vektor an(v) mit

(V) x (1-2 3) = (-7 -8 -3)

Wäre es dann

(-7 4 -1) ?

Ich bin mir bei dem Ergebnis nicht ganz sicher

Problem/Ansatz:

Ich bin mir nicht sicher ob mein Ergebnis stimmt

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V=(v1,v2,v3)

Drei Gleichungen fur die drei Koordinaten aufstelen, LGS lösen.

:-)

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Demnach hätte ich dann

V1=1

V2=1

V3=-5

Answer 1

Wenn das das Kreuzprodukt sein soll, stimmt Dein Ergebnis nicht. Kannst Du ja auch selber leicht durch nachrechnen kontrollieren.

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Wie mache ich das denn mit dem rückwärts rechnen das sollte meiner Meinung nach auch ein kreuzprodukt sein

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Die Gleichung kannst Du schreiben als

$$v \times a = b = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 2 \\ -3 & 0 & 1 \\ -2 & -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 \\ -8 \\ -3 \end{pmatrix} $$Mit Gauss kann man das umformen zu

$$ \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 2 \\ 0 & 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 \\ -7 \\ -7 \end{pmatrix} $$

Jetzt sieht man, dass es unendlich viele Lösungen gibt, weil die beiden letzten zeilen in der Matrix identisch sind. Setze z.B. \( z = 0 \) dann folgt \( y = -\frac{7}{3} \) und \( x= -\frac{8}{3} \)

Aber wie gesagt, es gibt unendliche viele Lösungen, dass ist nur eine.

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Vielen vielen lieben Dank für die ausführliche Beschreibung Dankesehr

Answer 2

(v1 v2 v3) x (1-2 3) = (-7 -8 -3)

Es gibt unendlich viele Lösungen. Deshalb nehme ich zusätzlich an, dass alle drei Vektoren orthogonal zueinander verlaufen.

-7v1-8v2-3v3=0    (1)

3v2+2v3=-7           (2)

-3v1+v3=-8             (3)

-3*(1)      7*3v1+8*3v2+9v3=0

(2) -->      3v2=-7-2v3

(3) -->       3v1=8+v3

7*(8+v3)+8*(-7-2v3)+9v3=0 → v3=0

v1=8/3     v2=-7/3

v=[8/3, -7/3, 0]

:-)

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Vielen vielen Dank für die Hilfe

Answer 3

Es gibt unendlich viele Lösungen. Hier eine recht geschickte Lösung.

[1, -2, 3] ⨯ [-7, -8, -3] = [30, -18, -22] = 2·[15, -9, -11]

Probe

[15, -9, -11] ⨯ [1, -2, 3] = [-49, -56, -21] = 7*[-7, -8, -3]

Also lautet ein Vektor [15/7, -9/7, -11/7]