Lösung - Substitution - Differentialgleichung - Hilfestellung

Question

Finden Sie die allgemeine Lösung von

$$ y^{\prime}(x)=\frac{1}{2} y^{2}(x)-\frac{3}{2 x^{2}}, \quad x>0 $$
mit Hilfe der Substitution \( y(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{z(x)} \)

Answer 1

Hallo,

y'= -1/x^2 - z'(x)/z^2

setze y und y' in die DGL ein und vereinfache.

Danach erhalte ich: z'x = -z -x/2 (Lösung via Variation der Konstanten)

--------->  z'x +z =0 homogene Gleichung

z_h=C₁/x ---->C₁=C(x) setzen

z_p=C(x)/x

z_p'=C'(x)/x -C(x)/x^2

z_p=-x/4

z=z_h+z_p=C₁/x -x/4

Resubstitution: y=1/x +1/z ---->z einsetzen

Lösung:

y=1/x + (4x)/(4C₁-x^2)

Comments

Hallo, mir ist gerade aufgefallen, dass die Ausgangsfunktion gar nicht mehr berücksichtigt wurde, sondern lediglich die Substitution quadriert wurde.

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doch, siehe hier:

setze y und y' in die DGL ein und vereinfache.

Danach erhalte ich: z'x = -z -x/2

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ich bekomme für die homogene Lösung auf zwei verschiedenen Wegen immer

\(z_h = -C1x\)

Könnten Sie vielleicht nochmal erläutern wie Sie auf die

\(z_h=\frac{C1}{x}\)

kommen?

MFG und danke

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z'x +z =0 homogene Gleichung

(dz/dx) *x = -z  |*dx

dz* x = -z *dx |:x :z

∫ dz/z= ∫ -dx/x

ln|z| = - ln|x| +C | e hoch

|z| = e^(- ln|x| +C)

|z| = e^(- ln|x|) * e^C

z = e^(- ln|x|) *  ± e^C ---------->C₁= ± e^C

z=  1/x *C₁

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Aah achso!

Dachte ständig, dass e^-ln(x) = -x ist...

Dankeschön :)

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Noch ne Frage wegen der Schreibweise. Die Ableitung von 1/z(x) ist z'(x)/z(x) ^2.

Und dann kommt bei mir als Lösung, wenn ich y und y' einsetzte z'(x)=0 raus. Leider ist es mit deiner Schreibweise schwer zu erkennen, was hier für z(x) steht und was für z*x.

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Meinst Du, wie ich diese Zeile erhalte ?

z'x = -z -x/2

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Ja genau, das ist das was ich brauche. Mir fehlt hier der ein oder andere Zwischenschritt

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Hallo,

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Vielen Dank ;)

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Und noch eine kleine Frage: Wie kommst du bei bem zp auf z=-x/4?

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Setze in die DGL ein, in z'x = -z -x/2

z_p=C(x)/x

z_p'=C'(x)/x -C(x)/x^2

--------->

(C'(x)/x -C(x)/x^2 ) *x = -C(x)/x -x/2

C'(x) -C(x)/x = -C(x)/x -x/2

C'(x) = -x/2

C(x)=-x^2/4

--->
z_p=C(x)/x =( -x^2/4)/x

z_p= -x/4