Konvergenzradius von Reihen bestimmen

Question

Hallo, ich habe folgende Aufgabe aber verstehe nicht wirklich wie ich hierbei vorgehen muss. Danke schon mal im Voraus

Text erkannt:

Bestimmt den Konvergenzradius \( \rho \) der folgenden Reihen:
a) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(2 x)^{n}}{n^{\sqrt{2}}} \)
b) \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} k !\left(e^{-1}\left(x-x^{*}\right)\right)^{k} \)

Answer 1

Aloha :)

$$a_n=\frac{2^n}{n^{\sqrt2}}\implies \frac{1}{\sqrt[n]{|a_n|}}=\sqrt[n]{\frac{n^{\sqrt2}}{2^n}}=\left(\frac{n^{\sqrt2}}{2^n}\right)^{\frac{1}{n}}=\frac{n^{\frac{\sqrt2}{n}}}{2}=\frac{(\sqrt[n]{n})^{\sqrt2}}{2}\to\frac{1}{2}$$Der Konvergenzradius ist daher \(|r|<\frac{1}{2}\).

$$b_k=k!\cdot e^{-k}\implies\left|\frac{b_k}{b_{k+1}}\right|=\frac{k!\cdot e^{-k}}{(k+1)!\cdot e^{-(k+1)}}=\frac{e}{k+1}\to 0$$Der Konvergenzradius ist daher \(r=0\).