Def. bereich ist wohl ganz ℝ ?
f gerade heißt f ( x ) = f( -x) für alle x∈ℝ
und monoton wachsend für a < b gilt f(a) ≤ f(b) .
Seien nun a,b ∈ℝ+ mit a≠b, dann ist zu zeigen f(a)=f(b).
O.B.d.A. ist a < b , also -b < - a und insgesamt
gilt -b < -a - a < b
Wegen der Monotonie also
f(-b) ≤ f(-a) ≤ f(a)≤ f(b)
und wegen "gerade gilt f(-b)=f(b) also kann man fortsetzen
f(-b) ≤ f(-a) ≤ f(a)≤ f(b) = f(-b) und weil diese Ungleichungskette
mit dem gleichen Wert beginnt wie endet , ist es eine
Gleichungskette. Also insbesondere f(a)=f(b).
Das war unter der Vor. a,b beide positiv. Die anderen
Fälle gehen so ähnlich, also gilt für alle a,b
jedenfalls f(a)=f(b) ==> f konstant.
