Umformung der Notation einer Singulärwertzerlegung

Question

Aufgabe: Sei $A=U \Sigma V^{T}$ mit $A \in \mathbb{R}^{M \times N}$ und $M \geq N$ mit UE $\mathbb{R}^{M \times M}, V \in \mathbb{R}^{N \times N}$ und $\Sigma \in \mathbb{R}^{M \times N}$
Des Weiteren gilt $U^{T} U=U U^{T}=I_{M}$ und $V^{T} V=V V^{T}=I_{N}$
Zudem sein $\Sigma=\left(\begin{array}{c}\Sigma_{N} \\ 0\end{array}\right), \Sigma_{N}=\operatorname{diag}\left(\sigma_{1, \ldots,} \sigma_{N)}\right) \in \mathbb{R}^{N \times N}$
wobei $((M-N) \times N)$ die Nullmatrix sei und $\sigma_{n}$ für $n=1, \ldots N$ gilt.
Zu zeigen: $\mathrm{A}=\sum \limits_{n=1}^{N} \sigma_{n} \boldsymbol{u}^{n}\left(\boldsymbol{v}^{n}\right)^{T}$
wobei $\boldsymbol{u}^{n}=U \boldsymbol{e}^{n}$ und $\boldsymbol{v}^{n}=V \boldsymbol{e}^{n}$ jeweils die $\mathrm{n}$ -ten Spalten
der Matrizen bezeichnen.

Mein Ansatz: Ich habe mal ein bisschen was eingesetzt, bin mir leider jedoch unsicher, ob ich das Sigma in dieser Form überhaupt einsetzen darf und, ob ich damit überhaut gezeigt habe w.z.z.w.
$A=U \Sigma V^{T}$
$=U\left(\begin{array}{c}\Sigma_{N} \\ 0\end{array}\right) V^{T}$
$=\sum \limits_{n=1}^{N} \sigma_{n} \boldsymbol{u}^{n}\left(\boldsymbol{v}^{n}\right)^{T}$
Für einen Korrekturhinweis wäre ich sehr dankbar.
Die Frage kursierte hier neulich schon einmal im Forum, jedoch mit unvollständiger Fragestellung und auch ohne Antworten bis jetzt.

Vielen Dank und mit freundlichen Grüßen

neon

Answer 1

Bist du dir sicher, dass $\Sigma=\left(\begin{array}{c}\Sigma_{N} \\ 0\end{array}\right), \Sigma_{N}=\operatorname{diag}\left(\sigma_{1, \ldots,} \sigma_{N)}\right) \in \mathbb{R}^{N \times N}$ lautet?

Bei der Singulärwertzerlegung hat $\Sigma$ meines Wissen eher diese Form:

$\Sigma = \left(\begin{array}{ccc|ccc} \sigma_1 & & & & \vdots & \\ & \ddots & & \cdots & 0 & \cdots \\ & & \sigma_r & & \vdots & \\ \hline & \vdots & & & \vdots & \\ \cdots & 0 & \cdots & \cdots & 0 & \cdots \\ & \vdots & & & \vdots & \\ \end{array}\right)\in \mathbb{R}^{M\times N}$