Finden sie eine Basis von A und B. Verständnisfrage...

Question

Aufgabe:

Finden sie eine Basis von A, B,A ∩ B und A+B für

A=⟨(1,2,2,0), (3,1,1,5), (0,0,0,1)⟩ ; B=⟨(3,3,3,4), (1,3,3,0)⟩

Problem/Ansatz:

halli hallo,

Ich habe ein Problem mit der Aufgabe. Ich verstehe was Basen sind, und weiß auch eigentlich wie ich welche finde. Ich hatte nur vorher immer z.b. solche Vektoren zu denen ich eine Basis finden musste U={(x,y,z) ∈ℝ³ :x+y-z=0}. Das habe ich auch gut verstanden. Hier ist, wenn wir mal A als Beispiel nehmen, mein Problem, dass ich nicht weiß, ob ich für jeden Vektor in A eine eigene Basis finden soll oder eine für alle zusammen. Ersteres wäre einfach. Bei letzterem hab ich dann das Problem, dass ich nicht weiß wie ich eine basis finden soll, die 3 linear unabhängige Vektoren beschreiben kann...

Sobald ich das Grundlegendde Problem verstanden habe, benötige ich keine weitere hilfe denke ich. Den Rest müsste ich dann auch so schaffen. Nur mit diesem Verständnisproblem, kann ich leider nicht weiterarbeiten....

Answer 1

Aloha :)

\(A\) und \(B\) sind Mengen von Vektoren, die einen Raum aufspannen. Wir sollen prüfen, ob wir denselben Raum eventuell mit weniger Vektoren aufspannen können, denn so ist eine Basis ja gerade definiert. Dazu schreiben wir die Vektoren als Spaltenvektoren in eine Matrix auf und bringen sie durch elementare Spaltenumformungen auf Dreieckgestalt:

1) Basis von \(A\)$$\begin{array}{rrr} & -3S_1 & \\\hline1 & 3 & 0\\2 & 1 & 0\\2 & 1 & 0\\ 0 & 5 & 1\end{array}\to\begin{array}{rrr} & :(-5)& \\\hline1 & 0 & 0\\2 & -5 & 0\\2 & -5 & 0\\ 0 & 5 & 1\end{array}\to\begin{array}{rrr} & +S_3 & \\\hline1 & 0 & 0\\2 & 1 & 0\\2 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 1\end{array}\to$$$$\begin{array}{rrr} -2S_2 & & \\\hline1 & 0 & 0\\2 & 1 & 0\\2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{array}\to\begin{array}{rrr}\vec a_1 & \vec a_2 & \vec a_3 \\\hline1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{array}$$

2) Basis von \(B\)$$\begin{array}{rr} -3S_2 & \\\hline3 & 1\\3 & 3\\3 & 3\\ 4 & 0\end{array}\to\begin{array}{rr} :(-2) & \\\hline0 & 1\\-6 & 3\\-6 & 3\\ 4 & 0\end{array}\to\begin{array}{rr} & -S_1\\\hline0 & 1\\3 & 3\\3 & 3\\ -2 & 0\end{array}\to\begin{array}{rr} \vec b_1 & \vec b_2\\\hline0 & 1\\3 & 0\\3 & 0\\ -2 & 2\end{array}$$

3) Basis von \(A\cap B\)

Wir schauen, welche Vektoren sowohl in \(A\) als auch in \(B\) enthalten sind. Da \(A\) drei Dimensionen hat und \(B\) nur zwei Dimensionen, prüfen wir, ob \(B\) vielleicht ein Unterraum zu \(A\) ist. Dazu müssen wir die Basisvektoren von \(B\) durch die von \(A\) ausdrücken können.$$\vec b_1=3\vec a_2-2\vec a_3\quad;\quad\vec b_2=\vec a_1+2\vec a_3\quad\checkmark$$

Der Raum \(B\) ist also vollständig in \(A\) enthalten, sodass \(A\cap B=B\) ist.

4) Basis von \(A\cup B\)

Wir müssen nun alle Vektoren finden, die in \(A\) oder in \(B\) enthalten sind. Da wir in 3) bereits festgestellt haben, dass \(B\) vollständig in \(A\) enthalten ist, gilt: \(A\cup B=A\).

Comments

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