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Aufgabe:

Man soll von der Matrix

\( M=\left[\begin{array}{ccc}3 & 0 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{(3,3)} \)

Die eigenwerte 0 und 3 überprüfen und zeigen dass es keine andere eigenwerte es gibt

Durch elementare Zeilenumformungen von  M − λI_3 folgt die Matrix


\( C=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1-\lambda \\ 0 & 3-\lambda & \lambda \\ 0 & 0 & (3-\lambda) \lambda\end{array}\right] \)


Problem/Ansatz:

Was macht man mit den eigenwerten? In C einsetzen? Wenn man das macht folgt das x1 - x2 =0 ist in der ersten zeile..

von

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Die Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms. Das musst Du ausrechnen. Bei einer oberen Dreiecksmatrix ist das einfach. Nämlich das Produkt der Diagonalelemente.

von 33 k

Was ist das charakteristische Polynom? Das hatte ich leider noch nicht.

Wenn es was mit determinaten zu tun hat, hatten wir die noch nicht.

Wenn Du eine Matrixgleichung \( Av = \lambda v \) für \( v \ne 0 \) hast, dann ist \( \lambda \) ein Eigenwert. Ich denke die Definition hattet ihr?

Daraus folgt aber das gelten muss $$ (A-\lambda I ) v = 0  $$ mit \( I \) = Einheitsmatrix. Die Gleichung hat aber nur nicht triviale Lösungen, also Lösungen mit \( v \ne 0 \) wenn $$ \det(A-\lambda I) = 0 $$ gilt. Das charakterischtiische Polynom ist nun $$ p(\lambda) =\det(A-\lambda I $$

D.h. die Eigenwerte sind die Nullstellen von \( p(\lambda) \). Wenn Du diese ausrechnest, sieht man dass nur die \( \lambda_1 = 0 \) und \( \lambda_2 = 3 \) als Lösungen in Fage kommen.

Leider hatten wir noch keine determinaten...

Tja dann mach es so. Ich habe Deine Umformung nicht überprüft. Wenn Sie stimmt folgen doch folgende Gleichungen

$$ (1) \quad (3-\lambda) \lambda \ v_z = 0 $$ Ist jetzt \( \lambda \ne 0 \text{ und } \lambda \ne 3 \) folgt \( v_z = 0 \).

Weiter hast Du die Gleichung

$$ (2) \quad (3-\lambda) \ v_y + \lambda \ v_z = 0  $$ Wegen \( v_z = 0 \) und \( \lambda \ne 3 \) folgt auch \( v_y = 0 \)

Und jetzt noch die letzte Gleichung

$$ (3) \quad v_x - v_y + (1-\lambda) v_z = 0 $$ Wegen \( v_z = v_y = 0 \) folgt \( v_x =  0 \)

Also gibt es nur Lösungen \( v \ne 0 \) für \( \lambda = 0 \) oder \( \lambda = 3 \)

Ist das dann eine Begründung durch Kontraposition?

Ja, Du nimmst ja an, es gibt Eigenwerte \( \ne 0 \) und \( \ne 3 \) und das führt zum Widerspruch.

Danke, jetzt habe ich es verstanden.

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