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Hallo, ich verstehe diese Aufgabe leider überhaupt nicht :/ Ich freue mich auf jede Hilfe!

Aufgabe:

Die Folge (an)n∈ℕ  sei definiert durch:


a1=1   und    $$a_{n+1}=\sqrt{1+\frac{2}{3}a^{2}_{n}}$$   für   n∈ℕ


a) Zeigen Sie, dass für alle n∈ℕ die Ungleichung 1≤ an ≤\( \sqrt{3} \)   gilt.

Hinweis: Verwenden Sie für die letzte Ungleichung den Beweis durch vollständige Induktion.

b) Zeigen Sie, dass die Folge monoton wachsend ist.
c) Folgern Sie, dass die Folge konvergiert, und berechnen Sie den Grenzwert.

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Aloha :)

$$a_{n+1}\coloneqq\sqrt{1+\frac{2}{3}a_n^2}\quad;\quad a_1\coloneqq 1$$

1) Beschränktheit

\(a_n^2\) ist eine Quadratzahl \(\ge0\), daher gilt als Abschätzung nach unten:$$a_{n+1}=\sqrt{1+\frac{2}{3}a_n^2}\ge\sqrt{1+0}=1\quad\checkmark$$Die Abschätzung nach oben \(a_n<\sqrt3\) zeigen wir durch vollständige Induktion. Die Verankerung bei \(n=1\) ist klar, weil \(a_1=1<\sqrt3\) vorgegeben ist. Im Induktionsschritt können wir daher annehmen, dass \(a_n^2<3\) ist, sodass:$$a_{n+1}^2=\left(\sqrt{1+\frac{2}{3}a_n^2}\right)^2=1+\frac{2}{3}\,a_n^2<1+\frac{2}{3}\cdot3=3\implies a_{n+1}<\sqrt3\quad\checkmark$$Für alle Glieder der Folge gilt also:$$1\le a_n<\sqrt3\quad;\quad n\in\mathbb N$$

2) Monotonie

Wegen \(a_n<\sqrt3\) ist \(a_n^2<3\) und \(\frac{1}{a_n^2}>\frac{1}{3}\). Damit können wir wie folgt argumentieren:$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\sqrt{1+\frac{2}{3}a_n^2}}{\sqrt{a_n^2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{2}{3}a_n^2}{a_n^2}}=\sqrt{\frac{1}{a_n^2}+\frac{2}{3}}>\sqrt{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}}=\sqrt1=1$$Daher ist \(a_{n+1}>a_n\) und die Folge streng monoton wachsend.

3) Grenzwert

Jede monotone beschränkte Folge konvergiert, also auch diese hier. Mit Hilfe der Grenzwertsätze und der Stetigkeit der Wurzelfunktion gilt:$$\lim\limits_{n\to\infty} a_{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt{1+\frac{2}{3}a_n^2}=\sqrt{1+\frac{2}{3}\left(\lim\limits_{n\to\infty}a_n\right)^2}$$Wir setzen den Grenzwert \(a\coloneqq\lim\limits_{n\to\infty}a_n\) ein:$$a=\sqrt{1+\frac{2}{3}a^2}\implies a^2=1+\frac{2}{3}a^2\implies\frac{1}{3}a^2=1\implies a^2=3\implies a=\sqrt3$$Die negative Wurzel fällt als Lösung weg, da \(a_n\ge1\) gilt.

von 57 k 🚀

vielen Dank!!

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