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Beweise das Additionstheorem für den Kosinus: cos(x+y) = cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y)


Ich hab bis jetzt die rechte Seite ein wenig umgeformt [Bei der Aufgabe sin(x+y) = sin(x)*cos(y) + cos(x)*sin(y) hatte das prima funktioniert und ich hatte am Ende 2 · sin(x+y) · i/2i 2·\sin(x+y)·i / {2i} , was man auflösen konnte. Aber bei Kosinus klappt es nicht. Bisher habe ich das hier:

=cos(x) · cos(y)sin(x) · sin(y) =\cos (x) · \cos (y)-\sin (x) · \sin (y)

=(eix+eix)(eiy+eiy)4eix(eiyeiy)4i =\dfrac{\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \mathrm{x}} + \mathrm{e}^{-\mathrm{ix}}\right)\left(\mathrm{e}^{\mathrm{iy}} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i} y}\right)}{4} - \dfrac{\left.\mathrm{e}^{\mathrm{i} \mathrm{x}}\right.\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \mathrm{y}}-\mathrm{e}^{-\mathrm{iy}}\right)}{4 \mathrm{i}}

Linker Bruch erweitert mit i2 i^2 bis zu:

=(eix+eix) · (eiy+eiy · ) · i2(eixeix) · (eiyeiy)4i2 =\dfrac{\left(e^{i x}+e^{-i x}\right)·\left(e^{i y}+e^{-i y·}\right)^{·i^2}\left(e^{i x}-e^{-i x}\right)·\left(e^{i y}-e^{-i y}\right)}{4 i^{2}}

Ist auch so weit alles richtig, zusammengefasst ergibt es noch immer cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y). Aber egal wie ich jetzt weiter zusammenfassen will (zum Beispiel i² wegkürzen, wird aus dem - ein +. ich möchte aber nicht cos(x-y) beweisen sondern cos(x+y), daher weiß ich nicht, wie ich es zu dieser Formel weiter zusammenfassen soll. Hat jemand Rat?

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Hi,

der zweite Nenner in der ersten Zeile ist falsch. Hier müsstest Du 4i2 im Nenner haben. Immerhin hast Du ja zweifach den Sinus!

Das i2 umgeformt führt zu einem Vorzeichenwechsel des Bruchs und Du hast Dein Ergebnis fast dastehen:

(eix+eix)(eiy+eiy)4+(eixeix)(eiyeiy)4\frac{(e^{ix}+e^{-ix})(e^{iy}+e^{-iy})}{4} + \frac{(e^{ix}-e^{-ix})(e^{iy}-e^{-iy})}{4}

=eix+iy+eixiy+eix+iy+eixiy4+eix+iyeixiyeix+iy+eixiy4= \frac{e^{ix+iy}+e^{ix-iy} + e^{-ix+iy} + e^{-ix-iy}}{4} + \frac{e^{ix+iy}-e^{ix-iy} - e^{-ix+iy}+e^{-ix-iy}}{4}

=2eix+iy+2eixiy4=e(x+y)i+e(x+y)i2=cos(x+y)= \frac{2e^{ix+iy}+2e^{-ix-iy}}{4} = \frac{e^{(x+y)i}+e^{-(x+y)i}}{2} = \cos(x+y)

Grüße

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