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Beweise das Additionstheorem für den Kosinus: cos(x+y) = cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y)


Ich hab bis jetzt die rechte Seite ein wenig umgeformt [Bei der Aufgabe sin(x+y) = sin(x)*cos(y) + cos(x)*sin(y) hatte das prima funktioniert und ich hatte am Ende \( 2·\sin(x+y)·i / {2i} \), was man auflösen konnte. Aber bei Kosinus klappt es nicht. Bisher habe ich das hier:

\( =\cos (x) · \cos (y)-\sin (x) · \sin (y) \)

\( =\dfrac{\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \mathrm{x}} + \mathrm{e}^{-\mathrm{ix}}\right)\left(\mathrm{e}^{\mathrm{iy}} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i} y}\right)}{4} - \dfrac{\left.\mathrm{e}^{\mathrm{i} \mathrm{x}}\right.\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \mathrm{y}}-\mathrm{e}^{-\mathrm{iy}}\right)}{4 \mathrm{i}} \)

Linker Bruch erweitert mit \( i^2 \) bis zu:

\( =\dfrac{\left(e^{i x}+e^{-i x}\right)·\left(e^{i y}+e^{-i y·}\right)^{·i^2}\left(e^{i x}-e^{-i x}\right)·\left(e^{i y}-e^{-i y}\right)}{4 i^{2}} \)

Ist auch so weit alles richtig, zusammengefasst ergibt es noch immer cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y). Aber egal wie ich jetzt weiter zusammenfassen will (zum Beispiel i² wegkürzen, wird aus dem - ein +. ich möchte aber nicht cos(x-y) beweisen sondern cos(x+y), daher weiß ich nicht, wie ich es zu dieser Formel weiter zusammenfassen soll. Hat jemand Rat?

von

1 Antwort

0 Daumen

Hi,

der zweite Nenner in der ersten Zeile ist falsch. Hier müsstest Du 4i^2 im Nenner haben. Immerhin hast Du ja zweifach den Sinus!

Das i^2 umgeformt führt zu einem Vorzeichenwechsel des Bruchs und Du hast Dein Ergebnis fast dastehen:

$$\frac{(e^{ix}+e^{-ix})(e^{iy}+e^{-iy})}{4} + \frac{(e^{ix}-e^{-ix})(e^{iy}-e^{-iy})}{4}$$

$$= \frac{e^{ix+iy}+e^{ix-iy} + e^{-ix+iy} + e^{-ix-iy}}{4} + \frac{e^{ix+iy}-e^{ix-iy} - e^{-ix+iy}+e^{-ix-iy}}{4}$$

$$= \frac{2e^{ix+iy}+2e^{-ix-iy}}{4} = \frac{e^{(x+y)i}+e^{-(x+y)i}}{2} = \cos(x+y)$$

Grüße

von 140 k 🚀

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