Vektoren vereinfachen (analytische geometrie)?

Question

Aufgabe:

Verstehe leider nicht wie ich d) f) und h) leider nicht. Kann mir das jemand bitte graphisch erklären?
:)

Answer 1

Aloha :)

Ein Punkt $A$ kann durch einen Ortsvektor $\vec a$ beschrieben werden. Dieser Ortsvektor startet am Ursprung des Koordinatensystems und führt genau zum Punkt $A$. Der Vektor $\vec a$ hat daher dieselben Komponenten wie der Punkt $A$ Koorindaten hat, z.B:$$A(3;4;5)\quad\Longleftrightarrow\quad \vec a=\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}$$

Wenn du nun von einem Punkt $A$ zu einem Punkt $B$ möchtest, musst du den Vektor $\overrightarrow{AB}$ entlang gehen. Diesen Vektor kannst du mit den Ortsvektoren $\vec a$ und $\vec b$ von Start- und Endpunkt beschreiben. Um von $A$ nach $B$ zu gelangen, gehst du zunächst von $A$ zum Ursprung, also den Vektor $\vec a$ in entgegen gesetzter Richtung, das heißt, du gehst den Vektor $-\vec a$ entlang. Vom Urpsrung gehst du dann den Ortsvektor $\vec b$ entlang zum Punkt $B$. Zusammengefasst heißt das:$$\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a$$Du kannst dir das merken als "Zielpunkt minus Startpunkt".

Damit sollten die Aufgaben nun kein Problem mehr sein.

$$\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}=\vec q-\vec p+\vec r-\vec q=\vec r-\vec p=\overrightarrow{PR}$$$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\vec b-\vec a+\vec a-\vec b=\vec 0$$$$\overrightarrow{PQ}-\overrightarrow{RQ}=\vec q-\vec p-(\vec q-\vec r)=\vec q-\vec p-\vec q+\vec r=\vec r-\vec p=\overrightarrow{PR}$$$$\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{RQ}=\vec p-\vec q+\vec q-\vec r=\vec p-\vec r=\overrightarrow{RP}$$$$\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}+\overrightarrow{RS}=\vec q-\vec p+\vec r-\vec q+\vec s-\vec r=\vec s-\vec p=\overrightarrow{PS}$$$$\overrightarrow{PQ}-\overrightarrow{QR}+\overrightarrow{QP}=\vec q-\vec p-(\vec r-\vec q)+\vec p-\vec q=\vec q-\vec r=\overrightarrow{RQ}$$$$\overrightarrow{AB}+\vec A=\vec b-\vec a+\vec a=\vec b=\vec B$$$$\overrightarrow{PQ}-\overrightarrow{RS}-\overrightarrow{PR}=\vec q-\vec p-(\vec s-\vec r)-(\vec r-\vec p)=\vec q-\vec s=\overrightarrow{SQ}$$

Answer 2

Zeichne das Dreieck PQR. Zu jeder Aufgabe werden die Vektoren durch Pfeile gekennzeichnet.

z.B. d) $\vec{QP}$+$\vec{RQ}$= $\vec{RQ}$+$\vec{QP}$=$\vec{RP}$.

Answer 3

a) PQ + QR = PR

b) AB + BA = 0

c) PQ - RQ = PQ + QR = PR

d) QP + RQ = RQ + QP = RP

e) PR + QR + RS = PS

f) PQ - QR + QP = PQ + RQ + QP = RQ

g) AB + A = A + AB = B

h) PQ - RS - PR = PQ + SR + RP = SR + RP + PQ = SQ

Answer 4

d) $$QP+RQ=RQ+QP=RP$$

f) $$PQ-QR+QP=RQ+QP+PQ=RQ$$

h) $$PQ-RS-PR=SR+RP+PQ=SQ$$

$$-QR=RQ$$

$$KOMMUTATIVGESETZ$$