Wie löst man Ungleichungen mit 2 Brüchen? (x+2)/(x-5)<=(x+5)/(3x-6)

Question

z.B. (x+2)/(x-5)<=(x+5)/(3x-6)

Bei Ungleichungen mit nur einem Bruch ist das mit der Fallunterscheidung ja kein Problem, aber wie sieht es hier aus?

Answer 1

(x+2)/(x-5) ≤(x+5)/(3x-6)

x=5 und x=2 sind die kritischen x-Werte. Daher ergeben sich 3 Fälle:

x<2,    2<x<5 und x>5

Mache dann in jedem dieser Fälle 2 Schritte: Erst nur *(x-5) und Ungleichheitszeichen richtig behandeln. Danach *(3x-6) und wieder Ungleichheitszeichen richtig drehen.
Ich nehme an, dass das so klappt.

Kontrolliere hiermit: https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x%2B2%29%2F%28x-5%29+≤%28x%2B5%29%2F%283x-6%29

und melde dich wieder, wenn du steckenbleibst oder auf etwas anderes kommst.

Comments

Ich verstehe schon nicht, wie du auf die 3 verschiedenen Fälle kommst.

Wie auch immer, ich versuch das mal eben nach deiner Anleitung durchzurechnen und melde mich dann nochmal.

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Habe für den ersten Fall (x<2) x<= -37 raus.

Für den zweiten Fall (2<x<5) habe ich x>=-37 raus.

Den dritten Fall (x>2) verstehe ich nicht. Müsste es nicht x>5 heißen, damit beide Nenner jeweils positiv sind?

Da würde dann auch x<=-37 rauskommen.

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Selbstverständlich x>5. Danke für den Hinweis.

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Du hast da ein Quadrat unterschlagen. Zudem gilt -25-(-12) = -25+12= -13.

Fall x> 5

(x+2)/(x-5) ≤(x+5)/(3x-6)        |*(3x-6)

(3x-6)(x+2)/(x-5) ≤ x+5            |*(x-5)

(3x-6)(x+2) ≤ (x+5)(x-5)

3x^2 -6x + 6x - 12 ≤ x^2 -25

x^2 ≤ -13      geht nicht. x kann nicht grösser als 5 sein.

 

Fall 2<x< 5

(x+2)/(x-5) ≤(x+5)/(3x-6)        |*(3x-6)

(3x-6)(x+2)/(x-5) ≤ x+5            |*(x-5)

(3x-6)(x+2) ≥ (x+5)(x-5)

3x² -6x + 6x - 12 ≥ x² -25

x² ≥ -13      ist allgemeingültig. x kann irgendwas zwischen 2 und 5 sein.

 

Fall x <2 

(x+2)/(x-5) ≤(x+5)/(3x-6)        |*(3x-6)

(3x-6)(x+2)/(x-5) ≥ x+5            |*(x-5)

(3x-6)(x+2) ≤ (x+5)(x-5)

3x² -6x + 6x - 12 ≤ x² -25

x² ≤ -13      geht nicht. x kann nicht kleiner als 2 sein.

Folgerung: 

L = {x| 2<x<5} oder in Intervallschreibweise

L = (2,5)