Sinus, Kosinus, Nullstellen und verhalten

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

AUFGABE 1: Die Funktionen
cosh $: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \quad$ Cosinus hyperbolicus
$$\sinh : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \quad \text { Sinus hyperbolicus }$$
sind definiert durch
$$\begin{aligned} \cosh (x) &:=\frac{1}{2}\left(e^{x}+e^{-x}\right) \\ \sinh (x) &:=\frac{1}{2}\left(e^{x}-e^{-x}\right) \end{aligned}$$
a) Zeigen Sie für $x, y \in \mathbb{R}$
$$\cosh ^{2}(x)-\sinh ^{2}(x)=1$$
b) Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktionen $\sinh (x)$ und $\cosh (x)$.
c) Bestimmen Sie das Verhalten der Funktionen $\sinh (x)$ und $\cosh (x)$ für $x \rightarrow \pm \infty$

Problem/Ansatz:

Aufgabe a) habe ich relativ leicht gelöst, wie mache ich Aufgabe b) und c) kann mir jemand dazu kurz ein Ansatz geben? :)

Answer 1

Hallo Furkan,

Nullstellen findet man, indem man die Funktion zu 0 setzt. Hier$$\sinh(x) = 0$$bzw.$$\frac 12 \left( e^x - e^{-x}\right) = 0$$Substituiere $e^x = z$, dann wird daraus$$\begin{aligned} \frac 12\left( z - z^{-1}\right) &= 0 &&|\, \cdot 2z \\ z^2 - 1 &= 0 \\ \implies z_{1,2} &= \pm 1\end{aligned}$$Daraus folgt dann $x_1=0$. Die Lösung $z_2=-1$ enfällt, da $e^x$ nie negativ wird.

Schau Dir die Graphen an

Plotlux öffnen

f₁(x) = cosh(x)f₂(x) = sinh(x)

Der $\cosh$ hat keine Nullstelle im Reellen.

Bestimmen Sie das Verhalten der Funktionen $\sinh (x)$ und $\cosh (x)$ für $x \rightarrow \pm \infty$

Für $x \to +\infty$ wird der Term $e^{-x}$ zu $0$. Folglich ist$$\lim_{x \to +\infty} \cosh(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac 12 \left( e^x + e^{-x} \right) = \frac 12 e^x \to \infty \\ \lim_{x \to +\infty} \sinh(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac 12 \left( e^x - e^{-x} \right) = \frac 12 e^x \to \infty$$ Für $x \to -\infty$ wird der Term $e^{x}$ zu $0$. Das schaffst Du jetzt selber.

Am Beispiel von $\cosh(x)$ sieht das so aus

Plotlux öffnen

f₁(x) = cosh(x)f₂(x) = (1/2)·e^xZoom: x(-9…9) y(-1…12)

Der Graph von $\cos(x)$ (blau) nähert sich für $x \to +\infty$ dem Graphen von $e^x$ (rot) an.

Comments

Ist ja auch einfach :D wie sieht es mit c) aus?

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wie sieht es mit c) aus?

habe ich hinzu gefügt (s.o.)

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Wird dann nicht bei  - unendlich  die Funktion gegen - unendlich laufen? oder bin ich gerade auf dem falschen Weg

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Wird dann nicht bei - unendlich die Funktion gegen - unendlich laufen? oder bin ich gerade auf dem falschen Weg

Ja klar - bei $x \to +\infty$ laufen beide Funktionen gegen $+\infty$. Ich meine, dass habe ich oben auch geschrieben:$$\lim_{x \to +\infty} \cosh(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac 12 \left( e^x + e^{-x} \right) = \frac 12 e^x \boxed{\to \infty} \\ \lim_{x \to +\infty} \sinh(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac 12 \left( e^x - e^{-x} \right) = \frac 12 e^x \boxed{\to \infty}$$Sie laufen aber nicht 'irgendwie' gegen $+\infty$, sondern nähern sich der Funktion $\frac 12 e^x$ an, die ihrerseits für große $x$ gegen $\infty$ läuft.

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Ah, alles klar habe aber noch eine Frage zur Nullstelle sie haben mal 2 multipliziert und sind zu z²-1 gekommen wie das? und wieso steht bei x1= 0

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sie haben mal 2 multipliziert und sind zu z²-1 gekommen wie das? und wieso steht bei x₁= 0

Ich hatte vorher $e^x=z$ substituiert. Aus $z^2-1=0$ folgt $z_1=1$ als eine mögliche Lösung. Und weiter geht's mit (wenn man es formal macht)$$\begin{aligned} e^{x_1} &= z_1 = 1 &&|\, \ln \\ \ln\left( e^{x_1}\right) &= \ln(1) \\ x_1 \cdot \ln(e) &= 0 &&|\,\ln(e)=1 \\ x_1 &= 0\end{aligned}$$