∑n=1∞ \sum\limits_{n=1}^{\infty} n=1∑∞ (12)n1+4n−4n \frac{(\frac{1}{2})^{n}}{\sqrt{1+4^{n}}-\sqrt{4^{n}}} 1+4n−4n(21)n
Ich soll diese Reihe auf Konvergenz untersuchen.
Habe das mit dem Quotientenkriterium untersucht, kam damit aber leider nicht wirklich weiter. Weiß jemand Rat?
(12)n1+4n−4n \frac{(\frac{1}{2})^{n}}{\sqrt{1+4^{n}}-\sqrt{4^{n}}} 1+4n−4n(21)n
Mit der zum Nenner passenden Summe erweitern gibt
(12)n∗(1+4n+4n)1+4n−4n \frac{(\frac{1}{2})^{n}*(\sqrt{1+4^{n}}+\sqrt{4^{n}})}{1+4^{n}-4^{n}} 1+4n−4n(21)n∗(1+4n+4n)
=(12)n∗(1+4n+4n)1 =\frac{(\frac{1}{2})^{n}*(\sqrt{1+4^{n}}+\sqrt{4^{n}})}{1} =1(21)n∗(1+4n+4n)
=(12)n∗(1+4n+4n) =(\frac{1}{2})^{n}*(\sqrt{1+4^{n}}+\sqrt{4^{n}})=(21)n∗(1+4n+4n)
≥(12)n∗4n \geq (\frac{1}{2})^{n}*\sqrt{4^{n}}≥(21)n∗4n
=(12)n∗2n =(\frac{1}{2})^{n}*2^{n}=(21)n∗2n
= 1
Also nach Majorantenkriterium Reihe nicht konvergent.
Sehr clever!
Vielen Dank :)
Ein anderes Problem?
Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos