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n=1 \sum\limits_{n=1}^{\infty}  (12)n1+4n4n \frac{(\frac{1}{2})^{n}}{\sqrt{1+4^{n}}-\sqrt{4^{n}}}

Ich soll diese Reihe auf Konvergenz untersuchen.

Habe das mit dem Quotientenkriterium untersucht, kam damit aber leider nicht wirklich weiter. Weiß jemand Rat?

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(12)n1+4n4n \frac{(\frac{1}{2})^{n}}{\sqrt{1+4^{n}}-\sqrt{4^{n}}}

Mit der zum Nenner passenden Summe erweitern gibt

(12)n(1+4n+4n)1+4n4n \frac{(\frac{1}{2})^{n}*(\sqrt{1+4^{n}}+\sqrt{4^{n}})}{1+4^{n}-4^{n}}

=(12)n(1+4n+4n)1 =\frac{(\frac{1}{2})^{n}*(\sqrt{1+4^{n}}+\sqrt{4^{n}})}{1}

=(12)n(1+4n+4n) =(\frac{1}{2})^{n}*(\sqrt{1+4^{n}}+\sqrt{4^{n}})

(12)n4n \geq (\frac{1}{2})^{n}*\sqrt{4^{n}}

=(12)n2n =(\frac{1}{2})^{n}*2^{n}

= 1

Also nach Majorantenkriterium Reihe nicht konvergent.

Avatar von 289 k 🚀

Sehr clever!

Vielen Dank :)

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