Reihe auf Konvergenz untersuchen mit Konvergenzkriterien

Question

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}$ $\frac{(\frac{1}{2})^{n}}{\sqrt{1+4^{n}}-\sqrt{4^{n}}}$

Ich soll diese Reihe auf Konvergenz untersuchen.

Habe das mit dem Quotientenkriterium untersucht, kam damit aber leider nicht wirklich weiter. Weiß jemand Rat?

Answer 1

$\frac{(\frac{1}{2})^{n}}{\sqrt{1+4^{n}}-\sqrt{4^{n}}}$

Mit der zum Nenner passenden Summe erweitern gibt

$\frac{(\frac{1}{2})^{n}*(\sqrt{1+4^{n}}+\sqrt{4^{n}})}{1+4^{n}-4^{n}}$

$=\frac{(\frac{1}{2})^{n}*(\sqrt{1+4^{n}}+\sqrt{4^{n}})}{1}$

$=(\frac{1}{2})^{n}*(\sqrt{1+4^{n}}+\sqrt{4^{n}})$

$\geq (\frac{1}{2})^{n}*\sqrt{4^{n}}$

$=(\frac{1}{2})^{n}*2^{n}$

= 1

Also nach Majorantenkriterium Reihe nicht konvergent.

Comments

Sehr clever!

Vielen Dank :)