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Der zwischen der Geraden x=-2a und x=2a liegende Teil der Hyperbel

hyp:b^2*x^2 - a^2*y^2=a^2*b^2 rotiert um die a)x-Achse , b)y-Achse.

Berechne das Volumina.


Ich komm nicht auf das Ergebnis, kann es jemand ausführlich rechnen?


Danke Lg Susi

von

Nicht die Körper rotieren, sondern ihre Randlinie.

4 Antworten

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b^2*x^2 - a^2*y^2= a^2 * b^2

Rotation um die x-Achse
y ( x )  = b * √ (x^2 - a^2) / a
Fläche
A ( x ) = y ^2 * PI
A ( x ) = [ b * √ (x^2 - a^2) / a ] ^2 * PI
Stammfunktion
S ( x ) = 1/3 * PI /a^2 * ( b^2 *x* (x^2 - 3*a^2)
Volumen
[ S (x) ] zwischen x = -a und x = a
blob.png

Bitte alles nachkontrolliern HIHOHA.
Ohne Matheprogramm geht das wohl nicht.
Falls du das Ergebnis kennst. Bitte vergleichen.

von 108 k 🚀

und y-Achse? Finde das schwieriger, hab a) rausbekommen aber b) nicht

Hallo Susi,
für mich am einfachsten ist es die Umkehrfunkion zu bilden
und diese dann um die x-Achse rotieren zu lassen.
Ohne mathe-Programm läuft bei mir allerdings nichts.
Die Zwischenschritte ( Lösungsweg ) sind aber
dann nicht ersichtlich.
Bin gern weiter behilflich.
mfg Georg

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Volumenformel für Rot. um die x-Achse ist
$$V=π \int \limits_{x_1}^{x_2} y^2 dx $$

Also hier

$$V=π \int \limits_{-2a}^{2a} (\frac{b^2}{a^2} \cdot x^2 -b^2 )dx $$

$$V=π b^2 \int \limits_{-2a}^{2a} (\frac{1}{a^2} \cdot x^2 -1 )dx $$

$$V=π b^2  [ (\frac{x^3}{3a^2} - x ] _{-2a}^{2a}            $$

$$V=π b^2  \cdot a (\frac{4}{3} )         $$

von 220 k 🚀

Hallo Mathef,

Dein Integral ist nicht ganz richtig:


$$V=π b^2  [ (\frac{x^3}{3a^2} - x ] _{-2a}^{2a}$$

und als Ergebnis dann:

$$V=\frac{4}{3}π b^2 a $$

Gruß

Woodoo

Danke, kam mir gleich was komisch vor.

Ich korrigiere.

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"Der zwischen der Geraden x=-2a und x=2a liegende Teil der Hyperbel

hyp:  b^2*x^2 - a^2*y^2=a^2*b^2   rotiert um die  a)  x-Achse "    V =   π \( \int\limits_{-x₁}^{x₂} \) [f(x)]^2 dx

y^2=   \( \frac{b^2}{a^2} \)   * x^2 - b^2


V =  π \( \int\limits_{-2a}^{2a} \) (\( \frac{b^2}{a^2} \)  * x^2 - b^2) * dx = π* [ \( \frac{b^2}{a^2} \) * \( \frac{1}{3} \) *x^3  - b^2*x ] in den Grenzen  -2a und 2a

mfG

Moliets

von 6,6 k

Alle eure Ergebnisse sind einen Dreck wert,
davon abgesehen sind sie falsch.

Das kann man auch freundlich formulieren! Bitte auf den Umgang achten!

Ich habe nicht die Forums-Mitglieder angegriffen, sondern die eingestellten Beiträge kritisiert.

Wenn mit völlig unbedarfter Naivität (sehr freundlich formuliert) über Definitionslücken der Integrandenfunktion hinweg integriert wird, dann stehen mir die Haare zu Berge und ich bezeichne den Wert der aus einem solchen Blödsinn hervorgehenden Ergebnisse als das, was er ist.

Selbst mit einer abstrus falschen Methode erzielte Ergebnisse könnten zufälligerweise noch richtig sein, aber auch das war hier nicht der Fall.

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Aloha :)

Wir schreiben die Gleichung der Hyperbel etwas um:$$b^2x^2-a^2y^2=a^2b^2\quad\Longleftrightarrow\quad\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\quad\Longleftrightarrow\quad \frac{y^2}{b^2}=\frac{x^2}{a^2}-1$$und stellen fest, dass \(\frac{y^2}{b^2}\ge0\) ist, sodass auch die rechte Seite \(\ge0\) sein muss:$$\frac{x^2}{a^2}-1\ge0\quad\Longleftrightarrow\quad\frac{x^2}{a^2}\ge1\quad\Longleftrightarrow\quad x^2\ge a^2\quad\Longleftrightarrow\quad x\le-a\;\lor\;x\ge a$$Weiter stellen wir fest, dass die Gleichung der Hyperbel sowohl bezüglich der \(y\)-Achse als auch bezüglich der \(x\)-Achse symmetrisch ist:$$\frac{(\pm y)^2}{b^2}=\frac{(\pm x)^2}{a^2}-1$$Wir können uns bei der Berechnung der Volumina also auf den ersten Quadranten beschränken, müssen die Ergebnisse aber am Ende verdoppeln. (Bei der Rotation um die \(x\)-Achse erhalten wir nur das Volumen rechts von der \(y\)-Achse, links davon findet sich aber dasselbe Volumen nochmal. Bei der Rotation um die \(y\)-Achse erhalten wir nur das Volumen oberhalb der \(x\)-Achse, unterhalb davon findet sich aber dasselbe Volumen nochmal.) Damit haben wir folgende Funktion zu betrachten:$$f(x)=b\sqrt{\frac{x^2}{a^2}-1}=\frac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}\quad;\quad x\in[a;2a]$$Die obere Intervallgrenze \(2a\) folgt aus der Aufgabenstellung.

Bei der Rotation um die \(x\)-Achse erhalten wir Kreise mit dem Radius \(f(x)\) und der Fläche \(\pi f^2(x)\), die wir entlang der \(x\)-Achse zum Rotationsvolumen addieren. Der Faktor \(2\) vor dem Integral berücksichtigt die oben betrachtete Symmetrie:

$$V_x=2\cdot\int\limits_a^{2a}\pi f^2(x)\,dx=2\cdot\int\limits_a^{2a}\pi \frac{b^2}{a^2}(x^2-a^2)\,dx=\frac{2\pi b^2}{a^2}\left[\frac{x^3}{3}-a^2x\right]_{x=a}^{2a}$$$$\phantom{V_x}=\frac{2\pi b^2}{a^2}\left[\left(\frac{8a^3}{3}-2a^3\right)-\left(\frac{a^3}{3}-a^3\right)\right]=\frac{8}{3}\pi ab^2$$

Bei der Rotation um die \(y\)-Achse erhalten wir Kreise mit dem Radius \(x\) und der Fläche \(\pi x^2\), die wir entlang der \(y\)-Achse zum Rotationsvolumen addieren. Der Faktor \(2\) vor dem Integral berücksichtigt wieder die oben betrachtete Symmetrie:

$$V_y=2\cdot\int\limits_{y(a)}^{y(2a)}\pi x^2\,dy=2\cdot\int\limits_{a}^{2a}\pi x^2\,\frac{dy}{dx}\,dx=2\cdot\int\limits_{a}^{2a}\pi x^2\cdot\frac{b^2}{a^2}\cdot\frac{2x}{2\sqrt{x^2-a^2}}\,dx$$$$\phantom{V_y}=\frac{2\pi b^2}{a^2}\int\limits_{a}^{2a}\frac{x^3}{\sqrt{x^2-a^2}}\,dx=\frac{2\pi b^2}{a^2}\int\limits_{a}^{2a}\underbrace{x^2}_{=u}\cdot\underbrace{\frac{x}{\sqrt{x^2-a^2}}}_{=v'}\,dx$$$$\phantom{V_y}=\frac{2\pi b^2}{a^2}\left(\left[\underbrace{x^2}_{=u}\cdot\underbrace{\sqrt{x^2-a^2}}_{=v}\right]_{x=a}^{2a}-\int\limits_{a}^{2a}\underbrace{2x}_{=u'}\cdot\underbrace{\sqrt{x^2-a^2}}_{=v}\,dx\right)$$$$\phantom{V_y}=\frac{2\pi b^2}{a^2}\left(4a^2\cdot\sqrt{4a^2-a^2}-\left[\frac{2}{3}(x^2-a^2)^{3/2}\right]_{x=a}^{2a}\right)$$$$\phantom{V_y}=\frac{2\pi b^2}{a^2}\left(4\sqrt3\,a^3-\frac{2}{3}\sqrt{27}a^3\right)=\frac{2\pi b^2}{a^2}\cdot2\sqrt3\,a^3=4\sqrt3\,\pi\,ab^2$$

Dieses Volumen \(V_y\) ist das zwischen den beiden Hyperbelästen, wo eigentlich kein "Material" ist. Es kann sein, dass du das noch von dem Volumen eines Zylinders \(\pi\cdot(2a)^2\cdot 2\,y(2a)\) subtrahieren musst, um das Volumen mit "Material" zu finden. Da weiß ich leider nicht, wie ihr das im Unterricht vereinbart habt.

von 63 k 🚀

Das Volumen Vy geht doch ohne partielle Integration und ohne (von dir ausgelassene) Betrachtung uneigentlicher Integrale viel viel einfacher :

In y-Richtung ist untere Integrationsgrenze 0 und obere Integrationsgrenze der Schnittpunkt der Hyperbel mit der Geraden x = 2a, also y = √(b^2·((x/a)^2-1))|x=2a
y=b√3  und das ergibt Vy = 2π·0b√3 x^2 dy =  2π·0b√3 (a^2·(1+(y/b)^2) dy
= 2πa^2·[y + y^3)(3b^2)]0b√3 = 4√3πa^2·b

Und das ist sogar richtig im Gegensatz zu deinem  4√3ab^2

Oha, im Endergebnis ist mir ein \(\pi\) verloren gegangen. Danke dir für den Hinweis und dass du mein Ergebnis nochmal mit einer anderen Herangehensweise bestätigt hast.

Das verlorene \(\pi\) trage ich noch nach ;)

Ist dir nicht klar, dass ein Rotationsvolumen um die y-Achse quadratisch mit a und linear mit b wachsen muss aber nicht umgekehrt ?

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