Gleichungssystem lösen, mögliche Lösungen erörtern

Question

Aufgabe:

Erörtern sie mögliche Lösungen des Gleichungsdystems für verschiedene Werte von s und t. Verwenden sie die Gaußsche Elimination.

x+2y+sz=t

x+y+2z=2

x+y-z= 1

Problem/Ansatz:

Also ich habe es versucht selbst zu lösen und bin mir hier sehr unsicher.

Also wenn t=2 dann hat es keine Lösung

und wenn t nicht gleich 2 aber andere relle Zahlen , dann habe ich

z= -1/2-t

y= -2+4t-t²+s

x=-6t+t²+4+s

Answer 1

Aloha :)

Wir folgen dem Hinweis und verwenden den Gauß-Algorithmus zur Lösung:

$$\begin{array}{rrr|r|l}x & y & z & = &\text{Aktion}\\\hline1 & 2 & s & t &-\text{Zeile 3}\\1 & 1 & 2 & 2 &-\text{Zeile 3}\\ 1 & 1 & -1 & 1 &\\\hline0 & 1 & s+1 & t-1 &\\0 & 0 & 3 & 1 &:\,3\\ 1 & 1 & -1 & 1 &-\text{Zeile 1}\\\hline0 & 1 & s+1 & t-1 &-\text{Zeile 2}\\0 & 0 & 1 & 1/3 &\\ 1 & 0 & -s-2 & -t+2 &+2\cdot\text{Zeile 2}\\\hline0 & 1 & s & t-4/3 &-s\cdot\text{Zeile 2}\\0 & 0 & 1 & 1/3 &\\ 1 & 0 & -s & -t+8/3 &s\cdot\text{Zeile 3}\\\hline0 & 1 & 0 & t-4/3-s/3 &\\0 & 0 & 1 & 1/3 &\\ 1 & 0 & 0 & -t+8/3+s/3 &\\\hline\hline\end{array}$$Die Koeffizientenmatrix lässt sich unabhängig von $s$ eindeutig lösen. Daher hat das Gleichungssystem immer genau eine Lösung, sie lautet:

$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-t+8/3+s/3\\t-4/3-s/3\\1/3\end{pmatrix}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}s-3t+8\\3t-s-4\\1\end{pmatrix}$$

Comments

Vielen Dank für ihre Lösung. Ich habe noch eine Frage, wir hatten das immer so, dass man immer die Hauptdiagonale auf 1 bringt und ein 0 Dreieck versucht. Würde das hier irgendwie auch gehen ?

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Ach und darf man im Gauß Verfahren mit  eine Zeile Parameter mal nehmen ?

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Du kannst die dritte Zeile einfach an die oberste Position setzen, dann hast du alle $1$ auf der Hauptdiagonalen.

Ja, du darfst beim Gauß-Verfahren eine Zeile mit jeder beliebigen Zahl (außer $0$) multiplizieren.

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Vieeeelen Dank

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Ja, du darfst beim Gauß-Verfahren eine Zeile mit jeder beliebigen Zahl (außer 0) multiplizieren.

Das bedarf bei Multiplikation mit einem Parameter dann aber wohl einer Fallunterscheidung.

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was meinen sie mit Fallunterscheidung?

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Lol, da Wolfgang hat wohl etwas Verwirrung gestiftet. Wenn du eine Zeile mit einem Parameter multiplizierst, musst du prüfen, dass dieser Parameter ungleich null ist. Das ist mit Fallunterscheidung gemeint.

Bei dieser Aufgabe hier ist das irrelevant, weil wir ja nicht mit einem Parameter multipliziert haben.