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Aufgabe:

Die Folge an= 4n * 5 -n-1, n ∈ N ist divergent

Stimmt diese Aussage?


Problem/Ansatz:


Die Folge ist divergent, wenn sie nicht konvergent ist. Konvergenz von Folgen untersuchen wir ja mit dem Grenzwert von Folgen. Besitzen sie einen Grenzwert, dann sind sie konvergent, wenn nicht, dann divergent.

Demnach soll ich ja herausfinden, ob diese Folge einen Grenzwert besitzt...

Dafür müsste ich den Limes betrachten - ich würde sagen, dass 4 hoch n gegen unendlich strebt (da mit höher werdendem n auch die Zahl immer größer wird). Bei 5 hoch -n-1 wird es ja immer kleiner - also strebt es gegen 0, oder? Also strebt die Folge gegen 0?

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4n*5^(-n-1)= 1/5* (4/5)n

(4/5)n strebt gegen Null. Der Bruch wird immer kleiner.

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Dafür müsste ich den Limes betrachten - ich würde sagen, dass 4 hoch n gegen unendlich strebt (da mit höher werdendem n auch die Zahl immer größer wird). Bei 5 hoch -n-1 wird es ja immer kleiner - also strebt es gegen 0, oder? Also strebt die Folge gegen 0?

Heuristisch formuliert geht das in die richtige Richtung. Jetzt musst du es noch formal begründen, also beweisen.

Avatar von 15 k

genau das bereitet mir große Probleme - könnten Sie mir einen Ansatz geben bzw. helfen?

Entweder du rechnest die Definition zur Konvergenz nach oder du kannst versuchen, eine weitere Nullfolge bnb_n zu finden, die ab einem gewissem nNn\in \mathbb{N} eine obere Schranke von ana_n ist. Außerdem ist deine Folge ana_n stets nicht negativ, d.h. du kannst cn : =0c_n:=0 als unteres Schranke von ana_n angeben. Insgesamt hast du also die Abschätzungen 0=cnanbn0=c_n\leq a_n\leq b_n, wobei nun ein passendes bnb_n finden musst.

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