Funktion stetig fortsetzbar auf R?

Question

Aufgabe:

Die Funktion f: ℝ / -2 --> ℝ

f(x) = (3x² - 12) / (5x+10)

ist stetig fortsetzbar auf ℝ

Problem/Ansatz:

Zunächst weiß ich, dass die Definition von "stetig fortsetzbar" folgend lautet: Wenn die Funktion f an der Stelle x₀ undefiniert ist, allerdings der linksseitige und rechtsseitige Grenzwert existieren (und übereinstimmen), wird dieser Wert als Grenzwert bezeichnet. Und somit ist f "stetig fortsetzbar" in x₀.

ich würde zunächst einmal x herausheben und herausbekommen: (3x-(12/x))/ (5+(10/x))

Nun könnte ich sagen, dass 12/x im Zähler und 10/x im Nenner gegen 0 streben, da sie immer kleiner werden mit höherem x. 3x im Zähler würde ins unendliche streben...also unendlich/0 wäre dann unendlich. Die Folge konvergiert gegen unendlich, oder? Also ist die Funktion dann stetig fortstetzbar?

was ist nun hier die Lösung? Wäre sehr dankbar für einen richtigen Lösungsweg!

Comments

Nun könnte ich sagen, dass 12/x im Zähler und 10/x im Nenner gegen 0 streben,

Das ist hier allerdings unerheblich, denn hier muss x→(-2) betrachtet werden.

Deine Umformungen sind also nicht zielführend. Wie wäre es denn mit faktorisieren und kürzen?

Answer 1

f(x) = (3x² - 12) / (5x+10)=[3(x+2)(x-2)]/[5[x+2))]

Nach Kürzen entsteht die stetige Fortsetzung g(x)=3/5·(x-2)

Answer 2

3x^2-12= 3*(x^2-4)= 3*(x+2)(x-2)

5x+10 = 5(x+2)

Kürzen mit x+2 und -2 dann einsetzen: f(-2)= 3(-2-2)/5 = -12/5