Wann hat die Matrix keine Lösung.

Question

Aufgabe:

Wann hat diese Matrix i) keine Lösung

ii) genau eine Lösung

iii) unendlich viele Lösungen

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & |1 \\0 & a-4 & 1 & |1\\ 0 & 0 & a-6 & |0 \end{pmatrix}$$

Ich habe sie hier auf die ZSF gebracht. Nun sehe ich mir die letzte Zeile an:

$$(a-6)*X_{3}=0$$

iii)  unendlich viele Lösungen würde ich sagen ist es bei a = 6, weil ich dann 0 = 0 stehen habe,

ii) genaue eine Lösung bei a ungleich 6

i) aber wann hat es keine Lösung?

Das muss doch ein Falscher Ausdruck sein. Sowas wie 1=2

Answer 1

Aloha :)

Die Determinante einer Dreiecksmatrix ist gleich dem Produkt der Elemente auf der Hauptdiagonalen:$$\operatorname{det}(A)=1\cdot(a-4)\cdot(a-6)$$Wenn die Determinante \(\ne0\) ist, hat das LGS immer genau eine Lösung.

Keine oder unendlich viele Lösungen kann es daher nur für \(a=4\) oder \(a=6\) geben. Diese Fälle untersuchen wir nun einzeln.

1. Sonderfall \(a=4\).

Die zweite Zeile der Matrix fordert \(x_3=1\). Die dritte Zeile fordert \(-2x_3=0\). Das \(x_3\) nicht zugleich \(1\) und \(0\) sein kann, gibt es für diesen Fall keine Lösung.

2. Sonderfall \(a=6\).

Die Gleichung sieht wie folgt aus:$$\left(\begin{array}{rrr|r}1 & 2 & 3 & 1\\0 & 2 & 1 & 1 \\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$$Die Nullzeile ist immer erfüllt. Wir haben daher 3 Unbekannte und 2 Gleichungen. Daher kann man immer eine Koordinate völlig frei wählen. Die beiden anderen Koordinaten sind dann durch die beiden Gleichungen bestimmt. Also gibt es unendlich viele Lösungen.

Answer 2

Wie ist es denn mit   mit a=4 ???

Comments

Dann habe ich (4-6)*x = 0

Und das ist x auch 0.... Komisch.... Also kann es gar keine Lösung geben?

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Aber in der 2. steht dann x=1

und wenn zugleich x=0 und x=1 gelten soll,

ist das ein Widerspruch, also gibt es keine Lösung.

Answer 3

Multipliziere die zweite Gleichung mit (a-6). Subtrahiere von dieser neu entstandenen zweiten Gleichung die dritte.

Comments

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & |1 \\0 & a^2-10a+24 & 0 & |a-6\\ 0 & 0 & a-6 & |0 \end{pmatrix}$$

Dann erhalte ich das.

Answer 4

Hallo

mit a≠6 hast du ja erst mal x3=0 dann geh in die 2 te Zeile, was ist wenn a=4 ist ?

kurz, du kannst nicht nur die letzte Zeile anstarren

auch für x3 beliebig, musst du noch die anderen Zeilen untersuchen.

Gruß lul

Comments

OK, also gibt es für a ungleich 6 und a ungleich 4 unendlich viele Lösungen?