Darstellungsmatrix aufstellen von A und B

Question

Aufgabe:

Gesucht ist die Darstellungsmatrix CAB(fi) von:

 $f_{3}:\left\{\begin{array}{l}\mathbb{Q}^{2} \rightarrow \mathbb{Q}^{2} \\ (x, y) \mapsto(3 x, x-2 y)\end{array}\right.$
$A=\left(\left(\begin{array}{c}1 \\ -1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}2 \\ 1\end{array}\right)\right), B=\left(e_{1}, e_{2}\right)$ die kanonische Basis von $\mathbb{Q}^{2}$

Problem/Ansatz:

ich verstehe an sich, wie eine Darstellungsmatrix "ausgerechnet wird, nur verstehe ich hier nicht ganz, was das hier mit A und B umgesetzt werden soll

Answer 1

Aloha :)

Die Darstellungsmatrix $C_B^B$ bezüglich der Standardbasis $B$ können wir direkt hinschreiben:

$$C_B^B\cdot\binom{x}{y}=\binom{3x}{x-2y}=\binom{3}{1}\cdot x+\binom{0}{-2}\cdot y=\left(\begin{array}{rr}3 & 0\\1 & -2\end{array}\right)\cdot\binom{x}{y}\implies$$$$C_B^B=\left(\begin{array}{rr}3 & 0\\1 & -2\end{array}\right)$$

Diese Darstellungsmatrix liefert Ergebnisvektoren, deren Komponenten bezüglich der Standardbasis $B$ definiert sind. Wir suchen jedoch die Matrix $C_A^B$ mit Ergebnisvektoren bezüglich der Basis $A$. Da uns die Komponenten der Basisvektoren von $A$ bezüglich der Standardbasis $B$ vorliegen, kennen wir die Wirkung der Transformationsmatrix $\operatorname{id}_B^A$ von $A$ nach $B$:$$\operatorname{id}_B^A\cdot\binom{1}{0}_{\!\!A}=\binom{1}{-1}_{\!\!B}\quad;\quad\operatorname{id}_B^A\cdot\binom{0}{1}_{\!\!A}=\binom{2}{1}_{\!\!B}\quad\implies\quad\operatorname{id}_B^A=\left(\begin{array}{rr}1 & 2\\-1 & 1\end{array}\right)$$

Damit können wir die Ergebnisvektoren von $C_B^B$ in die Darstellung bezüglich $A$ transformieren:

$$C_A^B=\operatorname{id}_A^B\cdot C_B^B=\left(\operatorname{id}_B^A\right)^{-1}\!\!\!\cdot C_B^B=\left(\begin{array}{rr}1 & 2\\-1 & 1\end{array}\right)^{-1}\cdot\left(\begin{array}{rr}3 & 0\\1 & -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}\frac{1}{3} & \frac{4}{3}\\[1ex]\frac{4}{3} & -\frac{2}{3}\end{array}\right)$$

Comments

danke für die Antwort, Ansich verstehe ich die Lösung und den Gedanken da hinter nur im Buch steht eine andere Lösung und zwar

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Ja, mir ist klar, woran das liegt. Du hast in der Aufgabenstellung geschrieben, dass die Matrix CAB gesucht ist. Das habe ich interpretiert als $C_A^B$. Also die Matrix, wo oben etwas mit Basis $B$ reinkommt und unten etwas mit Basis $A$ rauskommt. Gemeint war aber offensichtlich $C_B^A$, also Eingangsgrößen bezüglich der Basis $A$ und Ausgangsgrößen bezüglich der Basis $B$.

Bis auf die letzte Zeile kannst du die Antwort übernehmen. Die letzte Zeile musst du aber nun anpassen:

$$C_B^A=C_B^B\cdot\operatorname{id}_B^A=\left(\begin{array}{rr}3 & 0\\1 & -2\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{rr}1 & 2\\-1 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}3 & 6\\3 & 0\end{array}\right)$$

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Vielen Dank, entschuldige für das Missverständnis!☺️

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Passt schon... Wichtig ist mir, dass du das Prinzip verstanden hast, wie man mit Hilfe von Transformationsmatrizen (wie hier $\operatorname{id}_B^A$) Koordinaten von der einen Basis in eine andere Basis umrechnen kann.