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Aufgabe:

Sei \( \mathbb{N}:=\{1,2,3, \ldots\} \) wie in der Vorlesung die Menge der natürlichen Zahlen. Auf \( \mathbb{N} \) definieren wir für \( a, b \in \mathbb{N} \) die folgenden Relationen:
\( a R_{1} b: \Longleftrightarrow a \) teilt \( b, \) d.h. es existiert ein \( k \in \mathbb{N} \) mit \( a \cdot k=b \)

\( a R_{2} b: \Longleftrightarrow \exists c \in \mathbb{N} \) mit \( c \neq 1 \) und \( c \) teilt \( a \) und \( b \).
Geben Sie jeweils mit Begründung an, ob \( R_{1} \) bzw. \( R_{2} \) reflexiv, transitiv, antisymmetrisch und symmetrisch sind. Sind \( R_{1} \) bzw. \( R_{2} \) Ordnungsrelationen?


Problem/Ansatz:

R1 habe ich bereits auf die vier Relationen überprüft, jedoch weiss ich nicht wie ich R2 so schreiben soll, dass ich es auf die Eigenschaften überprüfen kann?

mir würde es schon reichen, wenn mir jemand bei der transitivität weiter helfen würde, da ich nicht verstehe wie ich die Relation xR2y, yR2z und xR2z umschreiben soll, so dass ich es durch rechnen mit Variablen beweisen kann

vor von

Hallo,

wenn Du es rechnerisch bearbeiten willst:

$$xR_2y \iff \exist i,j,c: \quad x=ic, y=jc \quad (c \neq 1)$$

Das bedeutet in Worten: x und y haben einen gemeinsamen Teiler c.

Wenn Du jetzt an die Transitivität gehst: Das würde bedeuten: Wenn x,y einen gemeinsamen Teiler haben und y,z einen gemeinsamen Teiler haben (der ja verschieden von dem ersten sein kann), dann haben auch x,z einen gemeinsamen Teiler. Das würde ich erstmal mit ganz kleinen Zahlen prüfen.

Gruß MathePeter

okay also bei der transitvität hätte ich dann eben:

xR2y⟺ ∃ i,j,c : x=ic, y=jc  
xR2y⟺ ∃ a,b,c1 : x=ac1, y=bc1

und zz. ist : xR2y⟺ ∃ d,e,c2 : x=dc2, y=ec2

wobei c, c1,c≠ 0

Ein ganz gewöhnliches Komma:

$$x= i\cdot c \text{ und } y=j \cdot c$$

1 Antwort

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Beste Antwort

Die zweite Relation ist einfach nur:

Die beiden haben einen gemeinsamen Teiler > 1.

ist nicht reflexiv; denn (1;1) gehört nicht dazu

symmetrisch ✓

also nicht antisymmetrisch und transitiv auch nicht, betrachte

(2;6) und ( 6;9)

vor von 220 k 🚀

vom Verständnis ist her ist  mir die Relation klar, nur wie kann ich zeigen das R2 nicht transitiv ist mit Variablen?

Für "nicht transitiv" reicht EIN Gegenbeispiel.

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