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Aufgabe: Einem Würfel ist eine gerade Pyramide einbeschrieben.

a) Bestimmen Sie die Größe des Winkels zwischen der Grundfläche und einer Seitenfläche der Pyramide.

b) Bestimmen Sie die Größe des Winkels zwischen benachbarten Seitenflächen der Pyramide.



Problem/Ansatz:

Hallo zusammen,

Für die oben genannte Aufgabe habe ich schon mehrere Lösungen gefunden, die aber alle verschieden sind. Mein Einsatz war es den Würfel in ein Koordinatensystem zu zeichnen mit den Koordinaten

A (0/0/0)      E(0/0/3)

B(0/3/0)       F(-6/0/0)

C(-2/3/0)     G(-2/3/3)

D(-2/0/0)     H(-2/0/3)

Und für die Spitze der Pyramide habe ich S(-2/1/2,5)

Um auf die Lösung zu kommen habe ich die Ebenengleichung E: x=r \( \begin{pmatrix} -2\\0\\0 \end{pmatrix} \) + s \( \begin{pmatrix} 0\\3\\0\end{pmatrix} \) gebildet ( ich hoffe die Vektoren werden angezeigt) und dazu habe ich noch die Geradengleichung g: x= \( \begin{pmatrix} -2\\1\\2,5 \end{pmatrix} \) + t \( \begin{pmatrix} 2\\0\\1 \end{pmatrix} \) gebildet. Wenn ich nun den Schnittwinkel berechne komme ich auf einen Winkel von 48,2°.

Wenn ich jedoch eine andere Geradengleichung bilde komme ich auf 36,6° und mit zwei anderen Formeln komme ich auf 58,3° und auf 59,2° (diese Formeln habe ich jedoch aus dem Internet).

Kann mir vielleicht jemand sagen ob mein Ansatz und vielleicht meine Lösung für die a) richtig ist und wenn nein den richtigen Ansatz geben ?

Zur b) wäre ich auch über einen Ansatz froh, da ich nicht ganz verstehe ob ich den Winkel über die Seitenkanten oder Flächen rechnen soll.

Liebe Grüße!

von

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Beste Antwort

Hallo,

A(3/2/1) B(3/6/1) C(-1/6/1) D(-1/2/1) E(3/2/5) F(3/6/5) G(-1/6/5) H(-1/2/5) S(3/5/6)
Kann mir bitte jemand was zu dem Ansatz sagen?

Ja - so wie die Punkte dort stehen sieht es so aus:

blob.png

Der Punkt \(S\) liegt etwas neben der Mitte und auch nicht in der Ebene \(EFGH\). Klick auf das Bild und rotiere die Szene mit der Maus, dann wird es deutlich.

Der Punkt \(S\) muss in der Mitte zwischen den Punkten \(E\) und \(G\) oder auch \(F\) und \(H\) liegen.$$S = \frac 12(E + G) = \begin{pmatrix}1\\ 4\\ 5\end{pmatrix}$$

a) Bestimmen Sie die Größe des Winkels zwischen der Grundfläche und einer Seitenfläche der Pyramide.

Denke Dir die Pyramide parallel zur YZ-Ebene mittig aufgeschnitte. Man erhält folgendes Bild

blob.png

Der Tangens des Winkels \(\alpha\) (grün) zwischen der Seitenebene \(ASD\) und der Grundfläche ist das Verhältnis Höhe zu halber Grundseite. Und da das hier innerhalb eines Würfels ist, ist$$\tan \alpha = 2 \implies \alpha \approx 63,43°$$


b) Bestimmen Sie die Größe des Winkels zwischen benachbarten Seitenflächen der Pyramide.

Willst Du den Winkel zweier Ebenen zueinander berechnen, die nicht so offensichtlich sind wie bei a), so ist eine Methode, den Winkel der beiden Normalenvektoren zu bestimmen. Die Normalenvektoren \(\vec n_{ASD}\) und \(\vec n_{BSA}\) lassen sich aus dem Kreuzprodukt zweier Richtungsvektoren der Ebene bestimmen. Hier ist$$\vec n_{ASD} = \vec{DA} \times \vec{DS} = \begin{pmatrix}4\\ 0\\ 0\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}2\\ 2\\ 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\ -16\\ 8\end{pmatrix} \\ \vec n_{BSA} = \vec{AB} \times \vec{AS} = \begin{pmatrix}0\\ 4\\ 0\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-2\\ 2\\ 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}16\\ 0\\ 8\end{pmatrix}$$Und nun kann man mit dem Skalarprodukt den Winkel \(\varphi\) zwischen diesen beiden Vektoren berechnen. Es ist$$\cos \varphi = \frac{\vec{n}_{ASD} \cdot \vec{n}_{BSA}}{|\vec n_{ASD}|\cdot|\vec n_{BSA}|} \\\quad = \frac{16\cdot 0 +0 \cdot (-16) + 8\cdot 8}{\sqrt{0^2 + (-16)^2 + 8^2} \cdot \sqrt{16^2 + 0^2 + 8^2}} \\\quad = \frac{64}{320} = 0,2 \\ \implies \varphi \approx 78,46° $$diesen Winkel muss man noch von 180° abziehen. Warum das so ist, soll folgendes Bild klären:

blob.png

Die Ecke soll die Kante \(AS\) im Schnitt darstellen. Die blauen Strecken sind zwei Seitenflächen der Pyramide im Schnitt. Die beiden Normalenvektoren sind rot eingezeichnet. Der Winkel \(\varphi\) ist der WInkel zwischen den beiden Normalenvektoren, also der blaue Winkel. Der Winkel zwischen den Ebenen (gelb) ist \(180°-\varphi\), da die Winkelsumme im Viereck 360° ist, und die beiden verbleibenden Winkel rechte sind.

Ich habe das nochmal im Geoknecht3D eingegeben.

blob.png

Würfel und Pyramide sind aufgeschnitten dargestellt, so dass man besser die 'Innereien' sehen kann. Falls etwas unklar ist, so frage bitte nach.

von 33 k

Oh super! Vielen Dank das war sehr aufschlussreich! :))

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Die Punkte die du nennst sind doch nie im Leben Eckpunkte eines Würfels!

AB hat die Länge 3, BC hat nur die Länge 2.

Von den abenteuerlichen Koordinaten von F will ich gar nicht reden...

von 27 k

Oh...danke für den Hinweis. Ich hab die Punkte mal verbessert

A(0/0/0)

B(0/3/0)

C(-5/3/0)

D(-5/0/0)

E(0/0/3)

F(0/3/3)

G(-5/3/3)

H(-5/3/0)

S(-5/0,5/2)

Sind die jetzt richtig oder habe ich immernoch einen Fehler drinnen ?

Aber abgesehen von den Punkten, ist denn mein Einsatz mit der Ebenengleichung und Geradengleichung richtig oder muss ich auch hier einen anderen Ansatz wählen ?

Jetzt hat der "Würfel" die Kantenlängen 3 und 5?

Dann hier halt komplett andere Punkte, A(3/2/1) B(3/6/1) C(-1/6/1) D(-1/2/1) E(3/2/5) F(3/6/5) G(-1/6/5) H(-1/2/5) S(3/5/6)

Kann mir bitte jemand was zu dem Ansatz sagen?

Jetzt hast du wohl einen Würfel hinbekommen, Allerdings kein (gerade) Pyramide, die dem Würfel einbeschrieben ist. Die Spitze dieser Pyramide müsste genau im Mittelpunkt einer Quadratfläche liegen.

Und wie wäre der Punkt der Spitze? In meiner Zeichnung liegt der nämlich in der Mitte einer Quadratfläche.

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