Die folgende Aufgabe ist aus dem Buch Analysis 1 von O.Forster. Leider ist im Buch keine Lösung angegeben.
Meine Unsicherheit liegt vor allem in Punkt 1, da ich nicht weiß, ob die Für N geltende Formel zwangsläufig auch für n gilt.
Man beweise: Für jede reelle Zahl b>1 und jede natürliche Zahl k gilt
n→∞limnkbn=∞
Beweis:
Es sei an : =bnnk und bn : =nkbn
Es sei ε>0 vorgegeben und N≥3 so gewählt, da\beta Nk+1≤bN. Dann gilt:
bNNk≤N1
Damit ist ∣∣∣∣bnnk−0∣∣∣∣=bnnk≤n1<ε für alle n≥N≥3
2. Da bn der Reziprokes von an ist folgt die Behauptung.