0 Daumen
222 Aufrufe

Aufgabe:Quadratische Gleichung mit Abstand 5

2x^2-3x+c=0


Problem/Ansatz: x1-x2 =5 ich verstehe diesen Rechenschritt nicht

die Gleichung nach x1 und x2 auflösen den weiteren schritt verstehe ich nicht.


von

5 Antworten

+1 Daumen
 
Beste Antwort

Hallo Olivia,

Mir fallen drei Verfahren ein, wie man diese Ausgabe lösen kann. In jedem Fall sollte man die Gleichung auf die Normalform bringen. Also die Form, bei der vor dem \(x^2\) kein Faktor \(\ne 1\) steht.$$\begin{aligned} 2x^{2}-3x+c&=0 &&|\, \div 2 \\ x^2 - \frac 32x - \frac c2 &= 0\end{aligned}$$Nach dem Satz von Vieta ist die Summe der beiden Lösungen \(x_1\) und \(x_2\) gleich dem Negativen des Faktors vor dem \(x\). Also hier$$x_1 + x_2 = -\left( -\frac 32 \right) = \frac 32$$Addiert man zu dieser Gleichung die Vorgabe$$x_1-x_2 = 5$$resultiert sofort$$2x_1 = \frac 32 + 5 = \frac{13}2 \\ \implies x_1 = \frac{13}4$$und setzt man \(x_1\) in eine der Gleichungen ein, so erhält man$$x_1 + x_2 = \frac 32 \\ \implies x_2 = \frac32 - x_1 = \frac32 - \frac{13}4 = -\frac74$$Wenn nach dem Wert von \(c\) nicht gefragt ist, dann hast Du damit schon die Lösung.

Ansonsten hilft auch hier der Satz von Vieta:$$x_1\cdot x_2 = \frac c2 \implies c = 2 \cdot \frac{13}4 \cdot \left( -\frac 74\right)= -\frac{91}{8}$$


Die zweite Möglichkeit besteht darin, die quadratische Gleichung in die Scheitelpunktform zu bringen:$$\begin{aligned}x^2 - \frac 32x - \frac c2 &= 0 \\ x^2 - \frac 32x + \left(\frac34\right)^2 - \left(\frac 34\right)^2 - \frac c2 &= 0 \\ \left( x - \frac 34  \right)^2 - \dots &= 0\end{aligned}$$Somit liegt der Scheitel bei \(x_s=3/4\). Die weitere Rechnung ist nicht notwendig. Und da die Nullstellen \(x_1\) und \(x_2\) symmetrisch zum Scheitel liegen müssen und unter einander den Abstand \(5\) haben, ist$$x_1 = \frac 34 + \frac 52= \frac{13}4\\ x_2 = \frac 34 - \frac 52 = -\frac 74$$


Die dritte Möglichkeit zur Lösung findest Du in den anderen Antworten.

von 33 k

ok, aber warum 2x1= 3/2+5

x1= 13/4

ok, aber warum 2x1= 3/2+5
x1= 13/4

ich schrieb:

Addiert man zu dieser Gleichung die Vorgabe$$x_1-x_2 = 5$$

Da ist die Summe aus dem Satz von Vieta \(x_1+x_2=3/2\) und die Vorgabe \(x_1-x_2=5\). Diese beiden Gleichungen addiert man, dann fällt das \(x_2\) raus:$$\begin{array}{ll} x_1+x_2&= 3/2 \\ x_1-x_2 &=5\\ \hline 2x_1 + 0x_2& = 13/2\end{array}$$anschließend die resultierende Gleichung noch durch \(2\) dividieren.

vielen vielen Dank, ich hab es verstanden.

0 Daumen

2x^2 - 3x + c = 0

Der 2. Teil der abc-Lösungsformel muss der halbe Abstand sein.

D = √(b^2 - 4·a·c)/(2·a) = √((-3)^2 - 4·(2)·c)/(2·2) = 5/2 --> c = -91/8

2x^2 - 3x - 91/8 = 0 --> x = 13/4 ∨ x = - 7/4

von 379 k 🚀

der halbe Abstand wegen x1-x2?

aber wie kommen Sie auf 91/8

Man löst die Gleichung

√((-3)2 - 4·(2)·c)/(2·2) = 5/2

nach c auf. Schaffst du sicher oder?

0 Daumen

Hier meine Lösung

gm-121.JPG

c = - 91/8

Falls du nicht durchblickst
bitte nachfragen.

von 110 k 🚀

jetzt bin ich total verwirrt.

können Sie es schritt für schritt erklären

Gern.
Dies sind die Berechnung meines Matheprogramms.

2x^2 - 3x + c = 0
die Gleichung nach x umstellen und lösen

x1 = 0.75 - 0.25 * √(9.0 - 8.0*c)
x2 = 0.75 + 0.25 * √ (9.0 - 8.0*c)
Um den Abstand zu ermitteln
Am besten x2 minus x1

0.5 * √ (9.0 - 8.0 * c)
Der Abstand soll 5 betragen
0.5 * √ (9.0 - 8.0 * c) = 5

Deshalb muß
√ (9.0 - 8.0 * c) = 10 sein | quadrieren
9.0 - 8.0 * c = 100

c = - 91/8

ich bekomme x1 =1 x2=0,5 raus mit der mitternachtsformel.

2x^2 - 3x + c = 0
x1 =1 x2=0,5
Todsicher falsch

in deiner Lösung muß ein " c " vorkommen.

dankeschön für Ihre Mühe, ich versuche es nochmal vlt. klappt es diesmal.

2x^2 - 3x + c = 0   | : 2
x^2 - 1.5x + c/2 = 0 | qudratische Ergänzung
( x^2 - 1.5x + 0.75^2 ) = 0.75^2 - c/2
( x - 0.75 ) ^2 = 0.75^2 - c/2  | Wurzel ziehen
x - 0.75 = ± √ ( 0.75^2 - c/2 )
x = ± √ ( 0.75^2 - c/2 ) + 0.75


wie kommsst du auf o,75?

2x^2 - 3x + c = 0
Du kannst die Gleichung mit der
Mitternachtsformel, der pq-Formel oder
der quadratischen Ergänzung lösen.

x^2 - 1.5x + c/2 = 0
Die quadratische Ergänzung ist die Hälfte
der Vorzahl von x zum Quadrat.
( 1.5 / 2 ) ^2

0 Daumen

2x^2-3x+c=0

x^2-\( \frac{3}{2} \) x=-\( \frac{c}{2} \)

(x-\( \frac{3}{4} \) )^2  =-\( \frac{c}{2} \)+\( \frac{9}{16} \)=\( \frac{9-8c}{16} \)   | \( \sqrt{} \)

x₁=\( \frac{3}{4} \)+\( \frac{1}{4} \)*\( \sqrt{9-8c} \)

x₂=\( \frac{3}{4} \)-\( \frac{1}{4} \)*\( \sqrt{9-8c} \)

\( \frac{3}{4} \)+\( \frac{1}{4} \)*\( \sqrt{9-8c} \)-\( \frac{3}{4} \)+\( \frac{1}{4} \)*\( \sqrt{9-8c} \)=5

\( \frac{1}{2} \)*\( \sqrt{9-8c} \) = 5

\( \sqrt{9-8c} \) = 10|^2

9-8c=100

c = - \( \frac{91}{8} \)

f(x)=2x^2-3x - \( \frac{91}{8} \)

Unbenannt1.PNG

von 8,2 k

Hallo,

ist wirklich super nett wieviel Mühe Du Dir machst, aber könntest du die schritte

auch erkären mit worten; es ist scon etwas länger her,seit ich Mathe hatte.

0 Daumen
" 2x^2-3x+c=0

Aufgabe: Quadratische Gleichung: Lösungen x1 und x2 sollen Abstand 5 haben.

So gemeint? Problem/Ansatz: x1-x2 =5 ich verstehe diesen Rechenschritt nicht "

Nimm an, x1 ist kleiner als x2

Dann gilt x1 + 5 = x2

Links und rechts "minus x1" ergibt5 = x2 - x1

Nun hat jemand offenbar angenommen x1 sei kleiner als x2.

So kommt man auf x1 - x2 = 5 .

von 161 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community