Bruch-/Betragsgleichung lösen

Question

Aufgabe:

$\frac{1}{|x-3|}$ + $\frac{1}{x+3}$  = 6

Ist meine Lösung/Ansatz so richtig? :)

Problem/Ansatz:

1. Fall: x-3 ≥ 0 => x≥3

$\frac{1}{x-3}$ + $\frac{1}{x+3}$  = 6  | *(x-3)(x+3)

x+3 +  x-3 = 6(x-3)(x+3)

2x = 6(x²-9)

2x = 6x² - 54

6x² -2x -54 = 0

x² - $\frac{1}{3}$x - 9 = 0

x1/2 = 1/6+- $\sqrt{1/36 + 9}$

x1=3,17 ; x2= -2,84

L1 = {x∈ℝ | x = 3,17}

2. Fall x-3<0    x<3

$\frac{1}{-(x-3)}$ + $\frac{1}{x+3}$  = 6

$\frac{1}{-x+3)}$ + $\frac{1}{x+3}$  = 6 | *(-x+3)(x+3)

-x+3 + x+3  = 6(-x+3)(x+3)

6 =  6(-x² -3x +3x +9)

6 =  6(-x² +9)

6 = -6x² +54

-6x² + 48 = 0

-6x² = -48

x² = 8

x₁ = $\sqrt{8}$ ; x₂ = -$\sqrt{8}$

L₂ = {x∈ℝ| -2,83; 2,83}

Lges = {x∈ℝ| -2,83; 2,83;  3,17}

Answer 1

Hallo

alles gut und richtig, ich ließe die √8 stehen, statt einem Näherungswert

Gruß lul

Answer 2

Text erkannt:

$\frac{1}{|x-3|}+\frac{1}{x-3}=6$
$\frac{1}{\sqrt{(x-3)^{2}}}+\frac{1}{x-3}=6 \mid \cdot \sqrt{(x-3)^{2}}$
$1+\frac{\sqrt{(x-3)^{2}}}{x-3}=6 \cdot \sqrt{(x-3)^{2}} \mid \cdot(x-3)$
$(x-3)+\sqrt{(x-3)^{2}}=6 \cdot(x-3) \cdot \sqrt{(x-3)^{2}}$
$x-3=u$
$u+\sqrt{u^{2}}=6 \cdot u \cdot \sqrt{u^{2}}$
$u_{1}=0 \rightarrow \rightarrow x_{1}=3 \rightarrow \rightarrow$ kommt nicht in Frage
$u_{2}=\frac{1}{3} \rightarrow \rightarrow x-3=\frac{1}{3} \rightarrow \rightarrow x_{2}=\frac{10}{3}$
Probe:
$\frac{1}{|3-3|}+\frac{1}{3-3}=6 \rightarrow \rightarrow$ stimmt nicht
$\frac{1}{\left|\frac{10}{3}-3\right|}+\frac{1}{\frac{10}{3}-3}=6 \rightarrow \rightarrow$ stimmt
$N\left(\frac{10}{3} \mid 0\right)$

Comments

Mir ist aus Versehen  $\frac{1}{x-3}$ statt   $\frac{1}{x+3}$ reingerutscht.

Aber mir kam es auf den anderen Lösungsweg an.