Aloha :)
Wir betrachten die Funktion:\(\quad f(x)=\frac{1}{2}\cdot x\cdot\sqrt{x+4}\)
zu a) Beim Definitionsbereich müssen wir uns überlegen, welche Werte für \(x\) eingesetzt werden können. Da man nur aus nicht-negativen Zahlen die Wurzel ziehen kann, muss \(x+4\ge0\) sein. Also muss \(x\ge-4\) sein. Ansonsten gibt es keine weiteren Einschränkugnen für \(x\).$$D=\mathbb R^{\ge-4}$$
zu b) Die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse finden wir dort, wo \(f(x)=0\) gilt. Da ein Produkt genau dann \(0\) wird, wenn mindestens einer seiner Faktoren \(0\) wird, ist \(f(0)=0\) und \(f(-4)=0\). Die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse sind also$$N_1(0|0)\quad;\quad N_2(-4|0)$$Den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse finden wir durch Einsetzen von \(x=0\). Wegen \(f(0)=0\) liefert das den Punkt \((0|0)\), den wir aber bereits als Schnittpunkt gefunden haben.
zu c) Zur Bestimmung von Extrem- und Wendepunkten brauchen wir Ableitungen:$$f'(x)=\left(\underbrace{\frac{1}{2}x}_{=u}\cdot\underbrace{\sqrt{x+4}}_{=v}\right)'=\underbrace{\frac{1}{2}}_{=u'}\cdot\underbrace{\sqrt{x+4}}_{=v}+\underbrace{\frac{1}{2}x}_{=u}\cdot\underbrace{\frac{1}{2\sqrt{x+4}}}_{=v'}$$$$\phantom{f'(x)}=\frac{x+4}{2\sqrt{x+4}}+\frac{x}{4\sqrt{x+4}}=\frac{2x+8}{4\sqrt{x+4}}+\frac{x}{4\sqrt{x+4}}=\frac{3x+8}{4\sqrt{x+4}}$$$$f''(x)=\left(\frac{\overbrace{3x+8}^{=u}}{\underbrace{4\sqrt{x+4}}_{=v}}\right)'=\frac{\overbrace{3}^{=u'}\cdot\overbrace{4\sqrt{x+4}}^{=v}-\overbrace{(3x+8)}^{=u}\cdot\overbrace{\frac{4}{2\sqrt{x+4}}}^{=v'}}{\underbrace{16(x+4)}_{=v^2}}$$$$\phantom{f''(x)}=\frac{12(x+4)-(3x+8)\cdot2}{16(x+4)\sqrt{x+4}}=\frac{6x+32}{16(x+4)^{3/2}}=\frac{3x+16}{8(x+4)^{3/2}}$$
Kandidaten für Extremwerte sind die Nullstellen der ersten Ableitung:$$0\stackrel!=f'(x)=\frac{3x+8}{4\sqrt{x+4}}\implies 3x+8=0\implies x=-\frac{8}{3}$$Die Art des Extermums prüfen wir durch Einsetzen in die 2-te Ableitung:$$f''\left(\frac{3}{8}\right)=\frac{3\sqrt3}{8}>0\implies\text{Minimum}$$
Kandidaten für Wendepunkte sind die Nullstellen der zweiten Ableitung:$$0\stackrel!=f'(x)=\frac{3x+16}{8(x+4)^{3/2}}\implies 3x+16=0\implies x=-\frac{16}{3}<-4$$Der Wendepunkt-Kandidat liegt außerhalb des Definitionsbereichs, sodass es keinen Wendepunkt gibt.
Es gibt also keinen Wendepunkt und einen Tiefpunkt \(T\left(-\frac{8}{3}\bigg|-\frac{8\sqrt3}{9}\right)\).
zu d) Die Tangente im am Punkt \(x_0=0\) hat die Form:$$t(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)=f(0)+f'(0)\cdot x=0+\frac{8}{4\sqrt4}\cdot x=x$$Die gesuchte Tangente lautet also:$$t(x)=x$$
Damit kannst du die Aufgabe nun abhaken:
~plot~ 0,5*x*sqrt(x+4) ; {-8/3|-8*sqrt(3)/9} ; x ; [[-5|4|-4|4]] ~plot~
