Berechne die Nst, Linearfaktor

Question

Aufgabe

Bereichen die Nullstelle der Funktion f.

a) f(x)= 2x³ -6x²

b)f(x) =-x³-6x²+3x

c) f(x)=1/3x⁵+2x³

Answer 1

Aloha :)

zu a) Hier kannst du $2x^3$ ausklammern. Ein Produkt ist nämlich genau dann $=0$, wenn mindestens ein Faktor $=0$ ist.$$0\stackrel!=f_a(x)=2x^3-6x^2=2x^2(x-3)$$Der Faktor $2x^2$ ist $=0$, wenn $x=0$ ist und der Faktor $x-3$ ist $=0$, wenn $x=3$ ist. Die beiden Nullstellen sind also:$$x_1=0\quad;\quad x_2=3$$

Plotlux öffnen

f₁(x) = 2x³-6x²Zoom: x(-1…4) y(-10…10)

zu b) Hier kannst du zuerst $(-x)$ ausklammern:$$0\stackrel!=f_b(x)=-x^3-6x^2+3x=-x(x^2+6x-3)$$Wenn der Faktor $x$ gleich $0$ ist, wird die Funktion gleich $0$. Damit haben wir schon mal eine Nullstelle gefunden. Bei den Nullstellen der Klammer hilft uns die pq-Formel weiter:$$x_{1;2}=-\frac{6}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{6}{2}\right)^2-(-3)}=-3\pm\sqrt{12}=-3\pm\sqrt{4\cdot3}=-3\pm2\sqrt3$$Damit haben wir drei Nullstellen gefunden:$$x_1=-3-2\sqrt3\approx-6,46\quad;\quad x_2=-3+2\sqrt3\approx0,46\quad;\quad x_3=0$$

Plotlux öffnen

f₁(x) = -x³-6x²+3xZoom: x(-7…2) y(-45…2)

zu c) Hier kannst du $\frac{1}{3}x^3$ ausklammern:$$0\stackrel!=f_c(x)=\frac{1}{3}x^5+2x^3=\frac{1}{3}x^3\left(x^2+6\right)$$Der erste Faktor $\frac{1}{3}x^3$ wird zu Null, falls $x=0$ ist. Der zweite Faktor $(x^2+6)$ wird niemals zu Null, weil $x^2$ als Quadratzahl nie negativ sein kann und daher $(x^2+6)\ge6$ gilt. Wir haben hier also nur eine Nullstelle:$$x_1=0$$

Plotlux öffnen

f₁(x) = 1/3·x⁵+2x³Zoom: x(-1…1) y(-2…2)

Answer 2

f=2x³-6x².......2 x ausklammern....

f= 2x(x²-3)....eine Nullstelle ist "0", also der Ursprung

die anderen: (x²-3)=0

x=+- $\sqrt{3}$

Die anderen beiden genauso.

Comments

Also müsste bei b:

=-x³-6x²+3x

=x(x²-6x+3)     |pq Formel

=-(-6)/2+ Oder - Wurzel (-6/2)²-3

=3+ oder- Wurzel 9-3

=3+/-0,5

Aber die im GTR wird bei mir angezeigt, dass die NST

X1=Ca. 0,5

X2=0

Sein müssen..

---

=-x3-6x2+3x

=x(x2-6x+3)    |pq Formel        wo ist das minus vor x²?

=-(-6)/2+ Oder - Wurzel (-6/2)2-3 $\sqrt{3²-3}$=?

---

Wurzel 3²-3 da würde Wurzel 6 rauskommen!

Umgeformt

Wurzel 6= 2.449

Trotzdem passt das nicht ?

Hast du eine Idee wie man auf die Nst 0 und ca. 0,5 kommen kann ?

---

Alles gut hat sich erledigt. Hab’s hinbekommen!

Allerdings hätte ich da eine andere Frage:

Dieselbe Aufgabe nur eine andere Funktion

X⁴-20x³+64x²

Hier stocke ich ein wenig.

Laut dem Graphen müssen die NST: 0, ca. 1,88, und ca. um -1,7

Kannst du mir den rechnerischen Weg erklären?

---

x⁴-20x³+64x²=0

x²*(x²-20x+64)=0

x²=0    x₁=0   x₂=0     Doppelte Nullstelle    Extremwert

x²-20x+64=0

x²-20x=-64

(x-10)^2=-64+100=36|$\sqrt{}$

1.) x-10=6

x₃=16

2.) x-10=-6

x₄=4