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Hallo an alle!

Für zwei Variablen x und y gilt: (x+1+x2)(y+1+y2)=1(x+\sqrt{1+x^2})(y+\sqrt{1+y^2})=1

Daraus soll ich nun die Summe x+yx+y bestimmen.

Ich habe schon den ganzen Vormittag rumgerechnet, aber das ist sinnfrei, weil mir irgendwie der richtige Plan fehlt. Vielleicht kann sich einer von euch die Aufgabe mal ansehen.

Ich muss am Montag abgeben, habe also noch etwas Zeit.

Danke schon mal

Hans

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Aloha :)

Endlich mal eine etwas interessantere Aufgabe. Vielen Dank dafür... \o/(x+1+x2)(y+1+y2)=1    x+y=?\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\left(y+\sqrt{1+y^2}\right)=1\quad\implies\quad x+y=?

Wir substituieren die erste Klammer durch uu und versuchen, die Gleichung nach yy umzustellen:

(x+1+x2)(y+1+y2)=1u(x+1+x2)\left.\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\left(y+\sqrt{1+y^2}\right)=1\quad\right|u\coloneqq\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)u(y+1+y2)=1 : u\left.u\left(y+\sqrt{1+y^2}\right)=1\quad\right|:\,uy+1+y2=1uy\left.y+\sqrt{1+y^2}=\frac{1}{u}\quad\right|-y1+y2=1uy()2\left.\sqrt{1+y^2}=\frac{1}{u}-y\quad\right|(\cdots)^21+y2=1u22yu+y2y2\left.1+y^2=\frac{1}{u^2}-\frac{2y}{u}+y^2\quad\right|-y^21=1u22yu+2yu1\left.1=\frac{1}{u^2}-\frac{2y}{u}\quad\right|+\frac{2y}{u}-12yu=1u21u2\left.\frac{2y}{u}=\frac{1}{u^2}-1\quad\right|\cdot\frac{u}{2}y=12(1uu)\left.y=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{u}-u\right)\quad\right.

Bevor wir uu wieder einsetzen, bestimmen wir noch den Kehrwert:1u=1x+1+x2=x1+x2x2(1+x2)2=x1+x2x2(1+x2)=1+x2x\frac{1}{u}=\frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}=\frac{x-\sqrt{1+x^2}}{x^2-(\sqrt{1+x^2})^2}=\frac{x-\sqrt{1+x^2}}{x^2-(1+x^2)}=\sqrt{1+x^2}-xDamit gehen wir zurück in die Lösung y(u)y(u):y=12(1uu)=12((1+x2x)(x+1+x2))=12(2x)=xy=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{u}-u\right)=\frac{1}{2}\left((\sqrt{1+x^2}-x)-(x+\sqrt{1+x^2})\right)=\frac{1}{2}(-2x)=-xx+y=0x+y=0Die Summe der beiden Variablen ist also gleich 00.

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Gratuliere - Du warst schneller als ich!

Sorry...

Wir haben ja gerade einen Tsunami an Mittelstufen-Aufgaben. Da war das mal wieder ein etwas interessanteres Problem ;)

aber eine Alternative habe ich noch zu bieten.

ss sei hier die Summe s=x+ys=x+y:(x+1+x2)(y+1+y2)=1(1+y2y)(x+1+x2)(1+y2y2)=1+y2y+yx+y+1+x2=1+y2y=sxs+1+x2=1+(sx)22s2+2s1+x2+1+x2=1+s22sx+x22s1+x2=2sxx1+x2    s=0\begin{aligned} (x+\sqrt{1+x^2})(y+\sqrt{1+y^2}) &=1 &&|\, \cdot (\sqrt{1+y^2}-y)\\ (x+\sqrt{1+x^2})(1+y^2-y^2)&= \sqrt{1+y^2}-y &&|\, +y\\ x+y + \sqrt{1+x^2} &= \sqrt{1+y^2} &&|\, y=s-x\\ s + \sqrt{1+x^2} &= \sqrt{1+(s-x)^2} &&|\, {}^2\\ s^2 + 2s\sqrt{1+x^2}+ 1+ x^2 &= 1+s^2-2sx +x^2 \\ 2s\sqrt{1+x^2} &= -2sx &&|\, |x| \ne \sqrt{1+x^2} \\ \implies s &= 0 \end{aligned}an der letzten Zeile habe ich am längsten geknobelt!

Ich hatte es so gemacht :

Erste Klammer = r, zweite Klammer = s
ergibt 1+x2 = (r-x)2, also x = (1-r2) / (2r)  und analog
y = (1-s2)/(2s) = ( 1-1/r2) ) / (2/r)  =  (r2-1)/(2r)
woraus direkt x+y = 0  folgt.


Ist das keine Mittelstufen-Aufgabe ?

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Gefragt 12 Mai 2017 von Gast
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