+1 Daumen
419 Aufrufe

Hallo an alle!

Für zwei Variablen x und y gilt: \((x+\sqrt{1+x^2})(y+\sqrt{1+y^2})=1\)

Daraus soll ich nun die Summe \(x+y\) bestimmen.

Ich habe schon den ganzen Vormittag rumgerechnet, aber das ist sinnfrei, weil mir irgendwie der richtige Plan fehlt. Vielleicht kann sich einer von euch die Aufgabe mal ansehen.

Ich muss am Montag abgeben, habe also noch etwas Zeit.

Danke schon mal

Hans

Avatar von

1 Antwort

+2 Daumen
 
Beste Antwort

Aloha :)

Endlich mal eine etwas interessantere Aufgabe. Vielen Dank dafür... \o/$$\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\left(y+\sqrt{1+y^2}\right)=1\quad\implies\quad x+y=?$$

Wir substituieren die erste Klammer durch \(u\) und versuchen, die Gleichung nach \(y\) umzustellen:

$$\left.\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\left(y+\sqrt{1+y^2}\right)=1\quad\right|u\coloneqq\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$$$$\left.u\left(y+\sqrt{1+y^2}\right)=1\quad\right|:\,u$$$$\left.y+\sqrt{1+y^2}=\frac{1}{u}\quad\right|-y$$$$\left.\sqrt{1+y^2}=\frac{1}{u}-y\quad\right|(\cdots)^2$$$$\left.1+y^2=\frac{1}{u^2}-\frac{2y}{u}+y^2\quad\right|-y^2$$$$\left.1=\frac{1}{u^2}-\frac{2y}{u}\quad\right|+\frac{2y}{u}-1$$$$\left.\frac{2y}{u}=\frac{1}{u^2}-1\quad\right|\cdot\frac{u}{2}$$$$\left.y=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{u}-u\right)\quad\right.$$

Bevor wir \(u\) wieder einsetzen, bestimmen wir noch den Kehrwert:$$\frac{1}{u}=\frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}=\frac{x-\sqrt{1+x^2}}{x^2-(\sqrt{1+x^2})^2}=\frac{x-\sqrt{1+x^2}}{x^2-(1+x^2)}=\sqrt{1+x^2}-x$$Damit gehen wir zurück in die Lösung \(y(u)\):$$y=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{u}-u\right)=\frac{1}{2}\left((\sqrt{1+x^2}-x)-(x+\sqrt{1+x^2})\right)=\frac{1}{2}(-2x)=-x$$$$x+y=0$$Die Summe der beiden Variablen ist also gleich \(0\).

Avatar von 148 k 🚀

Gratuliere - Du warst schneller als ich!

Sorry...

Wir haben ja gerade einen Tsunami an Mittelstufen-Aufgaben. Da war das mal wieder ein etwas interessanteres Problem ;)

aber eine Alternative habe ich noch zu bieten.

\(s\) sei hier die Summe \(s=x+y\):$$\begin{aligned} (x+\sqrt{1+x^2})(y+\sqrt{1+y^2}) &=1 &&|\, \cdot (\sqrt{1+y^2}-y)\\ (x+\sqrt{1+x^2})(1+y^2-y^2)&= \sqrt{1+y^2}-y &&|\, +y\\ x+y + \sqrt{1+x^2} &= \sqrt{1+y^2} &&|\, y=s-x\\ s + \sqrt{1+x^2} &= \sqrt{1+(s-x)^2} &&|\, {}^2\\ s^2 + 2s\sqrt{1+x^2}+ 1+ x^2 &= 1+s^2-2sx +x^2 \\ 2s\sqrt{1+x^2} &= -2sx &&|\, |x| \ne \sqrt{1+x^2} \\ \implies s &= 0 \end{aligned}$$an der letzten Zeile habe ich am längsten geknobelt!

Ich hatte es so gemacht :

Erste Klammer = r, zweite Klammer = s
ergibt 1+x^2 = (r-x)^2, also x = (1-r^2) / (2r)  und analog
y = (1-s^2)/(2s) = ( 1-1/r^2) ) / (2/r)  =  (r^2-1)/(2r)
woraus direkt x+y = 0  folgt.


Ist das keine Mittelstufen-Aufgabe ?

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community