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Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden Systems simultaner Kongruenzen:

x ≡ 2 mod 3

x ≡ 3 mod 11

x ≡ 2 mod 7

Ich weiss nicht ob es richtig ist, aber ich hab damit angefangen, erst ein mal alle Zahlen x ∈ ℤ zu berechnen:

Beweis:

Wenn x ≡ 2 mod 3, dann ist x = 3a +2 für alle a ∈ ℤ.

Wir haben:

3a + 2 ≡ 3 mod 11

3a ≡ 1 mod 11

wegen 3-1 = 3 mod 11, folgt:

a ≡ 3 mod 11

Somit ist a = 11b +3 für alle b ∈ ℤ.

Dann ist:

x = 3a + 2

x = 3 (11b+3) +2 = 33b + 11 =x

Einsetzen in die letzte Kongruenz:

33b + 11 ≡ 2 mod 7

33b ≡ -9 mod 7

33b ≡ 5 mod 7

wegen 33-1 ≡ 33 mod 7 ⇔ 5 mod 7

b ≡ 25 mod 7

b ≡ 4 mod 7

Dann ist b = 7c +4 für alle c ∈ ℤ

x = 33 (7c + 4) +11 = 231c +143

D.h. Für alle x = 231c +143 sind die drei Kongruenzen erfüllt, also noch angabe der Lösungsmenge, dafür setzte ich jetzt beliebige c ein? Zum Beispiel ...,-1,0,1,... also für die Lösungsmenge:

L = { ..., -88, 143, 374, ... }

ist das Richtig wie ich das gemacht habe? Bzw. darf ich selbst entscheiden, das ich die Lösungsmenge für x ∈ ℤ angeben möchte, wenn es nicht explizit in der Aufgabe steht?

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1 Antwort

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mir ist aufgefallen, dass ich 3-1 und 33-1 falsch berechnet habe, in korriegierter form erhalte ich 231c + 212, hoffe ich habe nicht geshcusselt beim umrechen... kannst du mir evtl sagen ob die Lösungsmenge L = { ..., -19,212,443,...} richtig ist?

Ja, ist richtig, ich würde eher so schreiben

L = {331c + 212 | c∈ℤ }

Danke dir!^^

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