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Aufgabe: Grenzwert von Folgen bestimmen


Problem/Ansatz: Hey, ich soll den Grenzwert der Folge a_n = sin(x)/x^2 bestimmen, falls er existiert. Wie geht man da vor? Mir fehlt der Ansatz. Brauche dringend eure Hilfe und freu mich auf die Antworten!


LG Elisa

von

Der Grenzwert der Folge a_n = sin(x)/x^{2} ist offensichtlich sin(x)/x^{2}.

Schreib die Aufgabe mal richtig auf!

Welchen Grenzwert? Den gg. 0 oder gg.+-oo?

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sinx%2Fx%5E2

Bei Folgen \(a_n\) ist es meistens \(n\to\infty\).

Die Aufgabe lautet: Bestimmen Sie, sofern sie existieren, die Grenzwerte der folgenden Folgen:

a_n= sin(x)/x2

und für x gegen unendlich

Könnte es auch \(a_n=\dfrac{\sin(n)}{n^2}\) heißen?

3 Antworten

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Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Du kannst dir zuerst überlegen, dass für alle \(x\in\mathbb R\) gilt:$$-1\le\sin(x)\le1$$Für \(x\ne0\) ist \(x^2>0\) und wir können die Ungleichungen durch \(x^2\) dividieren, ohne dass sich die Relationszeichen umkehren:$$-\frac{1}{x^2}\le\frac{\sin(x)}{x^2}\le\frac{1}{x^2}$$Da die Grenzwerte der linken und rechten Grenze exisitieren$$\lim\limits_{x\to\pm\infty}-\frac{1}{x^2}=0\quad;\quad\lim\limits_{x\to\pm\infty}\frac{1}{x^2}=0$$und überdies noch gleich groß sind, gilt auch:$$\lim\limits_{x\to\pm\infty}\frac{\sin(x)}{x^2}=0$$

von 67 k 🚀

vielen Dank! ;)

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Stichwort: L'Hospital anwenden

von 55 k 🚀

Stichwort: L'Hospital anwenden

Ich konnte mir denken, von wem das kommt bevor ich den Absender gelesen hatte.

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lim x -> ∞ [ sin ( x ) / x^2 ]

lim x -> ∞ [ sin ( x ) ]
Stell dir die Sinus-Kurve vor.
Diese ist für ∞ nicht definiert
( ∞ ist keine Stelle auf dem Zahlenstrahl )
bewegt sich aber zwischen -1 und 1.

lim x -> ∞ [ x^2 ] = ∞

-1/ ∞ = 0
 1/ ∞ = 0

lim x -> ∞ [ sin ( x ) / x^2 ] = 0

von 110 k 🚀

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