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Skiz2.png

Aufgabe:

Beweise mit den Methoden der Vektorrechnung, dass in einem beliebigen Viereck die abwechselnde Verbindung zwischen den Mittelpunkten von zwei gegenüberliegenden Seiten und der Mittelpunkte der Diagonalen ein Parallelogramm ergibt.

Problem/Ansatz:

Ich steh so ein bisschen auf dem Schlauch wie ich den Beweis führen soll. Die Vektoren habe ich schon aufgestellt (s. Skizze im Anhang):

Vektoren die das Viereck bilden: $$\vec{v_{0}}, \vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}, \vec{v_{3}}$$

Diagonalen: $$\vec{v_{4}}, \vec{v_{5}}$$

Resultierende Vektoren fürs Parallelogramm:

$$\frac{1}{2}\vec{v_{1}}-\frac{1}{2}\vec{v_{5}} = \vec{v_{6}}\\ \frac{1}{2}\vec{v_{6}}+\frac{1}{2}\vec{v_{3}} = \vec{v_{7}}\\ \frac{1}{2}\vec{v_{3}}+\frac{1}{2}\vec{v_{4}} = \vec{v_{8}}\\ \frac{1}{2}\vec{v_{4}}-\frac{1}{2}\vec{v_{1}} = \vec{v_{9}}$$

Wie zeige ich jetzt am besten das es sich um ein Parallelogramm handelt? Ich vermute mal, am ungeschicktesten wäre es ja über Parallelität und gleiche Länge zu gehen, aber hier hapert es gerade.

von

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Hallo,

ein beliebiges Viereck lässt sich mit drei Vektoren \(a\), \(b\) und \(c\) (blau) beschreiben

blob.png

In Abhängigkeit dieser drei Vektoren kann man nun die Vektoren (rot) zwischen zwei benachbarten Mittelpunkten berechnen. Ausgehend vom Eckpunkt \(A\) des Vierecks ist:$$\begin{aligned} \vec{M_aM_b} &= \vec{AM_b} - \vec{AM_a} \\&= a + \frac b2 - \frac a2 \\&= \frac 12(a+b) \\ \vec{M_dM_c} &= \vec{AM_c} - \vec{AM_d} \\&= \left(a+b + \frac c2 \right) - \frac 12(a+b+c) \\&= \frac 12(a+b) \end{aligned}$$Also gilt immer \(\vec{M_aM_b} = \vec{M_dM_c}\) und damit ist das Viereck, was aus den vier Mittelpunkten der Seiten gebildet wird, immer ein Parallelogramm.


.. und nun zur eigentlichen Aufgabe (das geht genauso):

blob.png

Es ist$$\begin{aligned}\vec{PM_c} &= \vec{AM_c} - \vec{AP} \\&= \left( a+ b +\frac c2\right) - \frac 12\left(a+b \right) \\&=\frac 12(a+b+c) \\ \vec{M_aQ} &= \vec{AQ} - \vec{AM_a} \\&= \left( a + \frac12(b+c)\right) - \left(\frac a2 \right) \\&= \frac 12(a+b+c)\end{aligned}$$Auch hier gilt also \(\vec{PM_c} = \vec{M_aQ}\) und das Viereck \(M_aQM_cP\) ist ein Parallelogramm.

von 34 k

Jetzt bliebe nur noch zu zeigen, auf welche Weise dieses Ergebnis eingesetzt werden kann, um die eigentlich zu lösende Aufgabe (in welcher etwa auch Diagonalenmittelpunkte eines Ausgangs-Vierecks eine Rolle spielen) darauf zurückzuführen ...

@rumar: wie wahr! es ist oft einfacher eine Aufgabe zu lösen, als die Aufgabenstellung zu verstehen ;-)

Ich habe meine Antwort erweitert (s.o.)

Ich habe meine Antwort erweitert (s.o.)

wobei das gar nicht nötig gewesen wäre !! man betrachte mal folgendes Bild


und jetzt bitte mit der Maus den Punkt \(D\) auf den grünen Punkt \(D^*\) ziehen. Das Viereck sei jetzt \(ABDC\). Die beiden roten Vektoren sind natürlich immer noch parallel!

Klar. Eigentlich handelt es sich ja nur um eine einfache Permutation der vier Eckpunkte:

Wenn ein Satz für alle Vierecke ABCD gilt, so gilt er insbesondere auch für das Viereck ABDC !

+1 Daumen

Mit deinen Bezeichnungen würde es genügen, zu zeigen, dass etwa v6 + v8 = 0 ist.

Mittels Beziehungen wie v6 = \( \frac{1}{2} \)v2  sollte dies leicht zu schaffen sein.

von 2,6 k

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