Aloha :)
Eine Funktion und ihre Umkehrfunktion heben ihre Wirkung gegenseitig auf:$$f(\,f^{-1}(x)\,)=x$$Dies gilt für alle Argumente \(x\in\mathbb D\) aus dem Definitionsbereich. Wenn wir nun beide Seiten vom Gleichheitszeichen nach \(x\) ableiten, verwenden wir links die Kettenregel und rechts erhalten wir eine \(1\):$$f'(\,f^{-1}(x)\,)\cdot\left(f^{-1}(x)\right)'=1$$Dividieren wir noch durch die erste Ableitung, sind wir fertig:$$\left(f^{-1}(x)\right)'=\frac{1}{f'(\,f^{-1}(x)\,)}$$
Das sieht fürchterlich kompliziert aus, ist aber tatsächlich sehr simpel. Ich führe das mal an einem Beispiel vor. Wir suchen die Ableitung von \(\arcsin(x)\).
$$\left.\sin(\arcsin(x))=x\quad\right|\text{beide Seiten ableiten}$$$$\left.\cos(\arcsin(x))\cdot\arcsin'(x)=1\quad\right|:\cos(\arcsin(x))$$$$\left.\arcsin'(x)=\frac{1}{\cos(\arcsin(x))}\quad\right.$$
Das lassen wir natürlich nicht so stehen. Mit \(\cos^2y+\sin^2y=1\) formen wir um:$$\arcsin'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2(\arcsin(x))}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
Dieser letzte Umformungsschritt ist eigentlich der entscheidende, geht aber bei der rein formalen Erklärung in der Regel unter.
