Finden Sie eine Zahl Basis a, so dass die Ableitung von a^x wieder a^x ist.

Question

Aufgabe:

Finden Sie eine Zahl Basis a, so dass die Ableitung von a^x wieder a^x ist. Nutzen Sie dazu den Term aus Aufgabe 3 auf S. 219.

Aufgabe 3 S. 219: Ermitteln Sie den Differentialquotienten der Funktion f(x) = a^x in Abhängigkeit von a. Gehen Sie dabei wie im obigen Beispiel für f(x) = 2^x vor (h-Methode).

Vielen Dank im Voraus!

Problem/Ansatz:

Könnte mir jemand bitte zeigen, wie man das rechnet. Bitte mit eine ausführliche Rechenweg!

Answer 1

Ermitteln Sie den Differentialquotienten der Funktion f(x) = a^x in Abhängigkeit von a.

Betrachte (f(x+h) - f(x) ) / h für h gegen 0.

Es ist ( a^x+h - a^x ) / h =  a^x * ( a^h - 1 ) / h .

Wenn du irgendwoher den Grenzwert von ( a^h - 1 ) / h für h gegen 0 kennst ( Es ist ln(a) .)

Dann bist du ja fertig. f ' (x) = a^x * ln(a).

Answer 2

f(x) = a^x

F(x)= a^x/lna

lna =1

a=e^1=e

-> f(x)= e^x

Answer 3

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Wir betrachten die Funktion \(f(x)=a^x\). Die Konstante \(a\) soll so bestimmt werden, dass die Funktion \(f(x)\) gleich ihrer Ableitung \(f'(x)\) ist.

Für \(|x|\ll1\) können wir \(f(x)\) durch eine Gerade annähern:$$f(x)\approx f(0)+f'(0)\cdot x\quad;\quad |x|\ll1$$Diese Näherung wird umso besser, je näher \(x\) bei \(0\) liegt. Gleichheit tritt ein für \(x\to0\).

Wegen \(f(0)=f'(0)=a^0=1\) können wir diese Näherungsformel umformen:$$f(x)\approx1+x\quad;\quad |x|<<1$$

Nun überlegen wir uns, dass für jede beliebige natürliche Zahl \(n\in\mathbb N\) gilt:$$a=a^{n/n}=\left(a^{1/n}\right)^n=\left(\,f\left(\frac{1}{n}\right)\,\right)^n$$Für \(n\to\infty\) geht das Argument \(x=\frac{1}{n}\) gegen Null. Die lineare Näherung wird exakt:$$a=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\,f\left(\frac{1}{n}\right)\,\right)^n=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e$$

Die Konstante \(a\) ist gleich einem Grenzwert, der als sog. Eulersche Zahl \(e\) bekannt ist.