Fakultät: Beweisen mit direktem Beweis.

Question

Text erkannt:

Beweis mit direktem Beweis , dass
$\prod \limits_{i=2}^{n}\left(1-\frac{1}{i^{2}}\right)=\frac{n+1}{2 n}$
fir alle $n \in \mathbb{N}(1,2\}$ gilt.

Problem/Ansatz: Ich habe bis jetzt :   ∏ $\frac{(i-1) * (i+1) }{i * i}$ = $\frac{ (n-1)! * (n+1)!}{n! * n!}$  (wegen Pi) jetzt weiß ich aber nicht mehr weiter ,denn wenn ich kürze bekomme ich als Antwort auf  $\frac{n+1}{n}$ und nicht auf $\frac{n+1}{2n}$ .

Kann mir wer weiter helfen?

Answer 1

Hallo
du hast bei (n+1)! vergessen, dass i erst bei 2 anfangt, also dass  i+1 bei 3 weshalb (n+1)! ersetzt werden muss durch (n+1)!/2
das ist dein einziger Fehler,
Gruß lul

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Achso Vielen Dank! :)

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Wir formen zuerst die Behauptung ein wenig um:

$$\prod\limits_{i=2}^n\left(1-\frac{1}{i^2}\right)=\prod\limits_{i=1}^n\left(\frac{i^2}{i^2}-\frac{1}{i^2}\right)=\prod\limits_{i=1}^n\frac{i^2-1}{i^2}=\prod\limits_{i=1}^n\frac{(i+1)(i-1)}{i^2}\stackrel!=\frac{n+1}{2n}$$

Induktions-Verankerung bei $n=2$:

$$\prod\limits_{i=2}^n\left(1-\frac{1}{i^2}\right)=\prod\limits_{i=2}^2\left(1-\frac{1}{i^2}\right)=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}=\frac{2+1}{2\cdot2}=\frac{n+1}{2n}\quad\checkmark$$

Induktionsschritt $n\to n+1$:

$$\prod\limits_{i=2}^{n+1}\left(1-\frac{1}{i^2}\right)=\prod\limits_{i=1}^{n+1}\frac{(i+1)(i-1)}{i^2}=\frac{((n+1)+1)((n+1)-1)}{(n+1)^2}\prod\limits_{i=1}^{n}\frac{(i+1)(i-1)}{i^2}$$Im Bruch vor der Produkt-Formel fassen wir den Zähler zusammen. Die Produkt-Formel ersetzen wir durch die Induktionsvoraussetzung:$$\phantom{\prod\limits_{i=2}^{n+1}\left(1-\frac{1}{i^2}\right)}=\frac{(n+2)n}{(n+1)^2}\cdot\frac{(n+1)}{2n}=\frac{n+2}{2(n+1)}=\frac{(n+1)+1}{2(n+1)}\quad\checkmark$$

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Vielen Dank für die Antwort :) aber das Problem ist , dass wir es nicht mit Induktion sondern mit direktem Beweis machen müssen :/ hab es leider nur im Titel geschrieben tut mir leid :/ hab es aber jtz zur Frage noch dazugeschrieben :)