Rekursionsgleichung für das Integral ableiten

Question

Aufgabe:

a) Leiten Sie eine Rekursionsgleichung für das Integral
$I_{n}:=\int \limits_{0}^{\infty} t^{n} e^{-t} d t$
mit $n \in \mathbb{N}$ her und bestimmen Sie hiermit eine explizite Formel für $I_{n}$.
b) Leiten Sie eine Rekursionsgleichung für das Integral
$J_{n}:=\int \limits_{0}^{\infty} \sin ^{n}(t) \cdot e^{-t} d t$
mit $n \in \mathbb{N}$ her und berechnen Sie $J_{0}, \ldots, J_{4}$.

Problem/Ansatz:

Hey kann mir hier vielleicht jemand weiterhelfen? Habe keine Ahnung wie ich hier anfangen soll.:(

Answer 1

Hallo

erst mal a)

partielle Integration mit tⁿ=u u'=n*t^n-1 und v'=e^-t v=-e^-t

erzeugt das Integral I_n-1

dazu benutzen  t-> oo  e-t*tⁿ=0

Gruß lul

Answer 2

zu a)

Mit partieller Integration findest du heraus, dass du $\int \limits_{0}^{\infty} t^{n-1} e^{-t} d t$ (eventuell noch versehen mit einem konstanten Faktor) berechnen musst.

Wenn du DAS mit partieller Integration machst kommst du auf ein zu berechnenden Integral der Form $\int \limits_{0}^{\infty} t^{n-2} e^{-t} d t$.

Das macht man nun so oft, bis die Potenz $t^{0}$ (=1) erreicht ist und das Integral $\int \limits_{0}^{\infty} t^{0} e^{-t} d t$ einfach nur als$\int \limits_{0}^{\infty} e^{-t} d t$ direkt berechenbar ist.