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Aufgabe:

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10 Gegeben sind die Punkte \( O(0|0| 0), A(6|6| 0), B(3|9| 0), S(4|6| 8) \) und die Gerade \( g \) mit der Gleichung \( g: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 3,5 \\ 8\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}2 \\ 5 \\ 0\end{array}\right) ; t \in \mathbb{R} \).

a) Das Dreieck OAB ist Grundfläche einer dreiseitigen Pyramide mit Spitze S. Zeichnen Sie die Pyramide in ein geeignetes Koordinatensystem ein. Berechnen Sie die Innenwinkel des Dreiecks OAB.


b) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide.

Zeigen Sie, dass die Spitze S auf der Geraden g liegt.

Begründen Sie folgende Aussage: Bewegt sich der Punkt \( S \) auf der Geraden g, so ăndert sich das Volumen der Pyramide nicht. Gibt es weitere Lagen der Pyramidenspitze, die das Volumen der Pyramide nicht verändern?


c) In Richtung des Vektors \( \left(\begin{array}{r}5 \\ -3 \\ -8\end{array}\right) \) fâlit parallel Licht ein. Dabei wirft die massive Pyramide einen Schatten auf die \( x_{1} x_{2} \) -Ebene. Berechnen Sie die Koordinaten des Schattenpunktes \( \mathrm{S}^{**} \) der Pyramidenspitze. Zeichnen Sie den Schatten in das vorhandene Koordinatensystem ein. Aus welcher Richtung muss das Licht einfallen, damit der Schattenpunkt \( \mathrm{S}^{\text {** }} \) auf der \( \mathrm{x}_{1} \) -Achse liegt und das Schattendreieck \( \mathrm{OS}^{**} \mathrm{~A} \) rechtwinklig mit einem rechten Winkel bei \( \mathrm{S}^{\text {** }} \) ist?

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Wie kann ich die Aufgabe "Aus welcher Richtung muss das Licht einfallen, ... ist?" lösen?

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Beste Antwort

Hallo Anna,

Wie kann ich die Aufgabe "Aus welcher Richtung muss das Licht einfallen, ... ist?" lösen?

Indem Du zunächst versuchst, Dir die Szene zu zeichnen:

blob.png

(klick auf das Bild, dann öffnet sich Geoknecht3D und Du kannst die Szene mit der Maus rotieren und bekommst einen besseren Eindruck.)

Die Seite \(S^{**}A\) des Schattendreiecks \(\triangle OS^{**}A\) bildet die Seite, die senkrecht auf der X-Achse stehen soll. Folglich muss die X-Koordinate des Punktes \(S^{**}\) identisch zur X-Koordinate des Punktes \(A\) sein. Also ist $$S^{**} = \begin{pmatrix}6\\ 0\\ 0\end{pmatrix}$$Die Richtung des Lichtes ist der Differenzvektor von \(S\) nach \(S^{**}\):$$\vec{SS^{**}} = \begin{pmatrix}2\\ -6\\ -8\end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix}1\\ -3\\ -4\end{pmatrix}$$Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

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b) \( \begin{pmatrix} 3\\9\\0 \end{pmatrix} \) ×\( \begin{pmatrix} 6\\6\\0 \end{pmatrix} \)=\( \begin{pmatrix} 0\\0\\-36 \end{pmatrix}. \) Dann ist die Grundfläche 18 und das Volumen 6·8=48.

von 103 k 🚀

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