Ein magisches Quadrat aus Primzahlen

Question

Konstruiere ein magisches Quadrat aus Primzahlen mit der magischen Summe 1140. Vier davon liegen zwischen 10 und 20, vier zwischen 820 und 830 und acht zwischen 100 und 200.

Answer 1

Alle Primzahlen enden auf $1$, $3$, $7$ oder $9$. Und da die gesuchten Primzahlen sehr weit aus einander liegen, gehe ich davon aus, dass in jedem der geforderten Bereiche alle vier Endziffern genau ein- bzw. zweimal auftauchen. Bei den Dekaden ab $10$ und ab $820$ geht es auch gar nicht anders.

Also baue man sich ein magisches Quadrat $4 \times 4$ aus diesen Endziffern$$\begin{array}{c|c|c|c}1& 3& 7& 9\\\hline 9& 7& 3& 1\\\hline 3& 1& 9& 7\\\hline 7& 9& 1& 3\end{array}$$und nun verteilt man die $10$ und die $820$ so über das Quadrat, dass in jeder Zeile, Spalte und Diagonale die Zahl nur einmal vorkommt. Und dann noch drauf achten, dass jede Endziffer nur einmal pro Dekade vergeben wird:$$\begin{array}{c|c|c|c}10& 820& & \\\hline & & 10& 820\\\hline & & 820& 10\\\hline 820& 10& & \end{array}$$In den Primzahlen von $100$ bis $200$ sucht man sich nun zwei Dekaden, die 'vollständig' mit Primzahlen besetzt sind und die Summe der Anfangszahl der Dekade muss gleich $290$ sein, um auf die magische Zahl $1140$ zu kommen. Als einzige Kandidaten bleiben da die Dekaden ab $100$ und $190$. Die verteile ich nach dem gleichen Schema wie oben:$$\begin{array}{c|c|c|c}& & 100& 190\\\hline 100& 190& & \\\hline 190& 100& & \\\hline & & 190& 100\end{array}$$.. und noch alles addieren:$$\begin{array}{c|c|c|c}11& 823& 107& 199\\\hline 109& 197& 13& 821\\\hline 193& 101& 829& 17\\\hline 827& 19& 191& 103\end{array}$$nach diesem Verfahren kann man nun weitere magische Quadrate erzeugen, indem man die beiden unterbesetzen Qudrate addiert und anschließend jeweils in einem der beiden 'Basisquadrate' in vier Paaren zwei Ziffern vertauscht.

Zum Beispiel$$\begin{array}{c|c|c|c}827& 13& 101& 199\\\hline 109& 191& 823& 17\\\hline 193& 107& 19& 821\\\hline 11& 838& 197& 103\end{array}$$Gruß Werner

Answer 2

11	823	107	199	1140
109	197	13	821	1140
193	101	829	17	1140
827	19	191	103	1140
1140	1140	1140	1140	1140

So bin ich darauf gekommen:

Die Summe aller 16 Zahlen muss 4*1140=4560 sein.

Acht Zahlen sind bekannt, nämlich

11, 13, 17, 19, 821, 823, 827 und 829.

Jede Achthunderter-Zahl muss in jeweils einer Zeile bzw. Spalte stehen, da sonst nicht die Summe 1140 gebildet werden kann.

Die Summe der bekannten Zahlen beträgt 3360. Die anderen acht müssen daher 1200 ergeben, im Mittel also 150.

Mögliche Kandidaten wären z.B.

101,103,107,109 und 191,193,197,199.

:-)