Zeigen sie die Konvergenz der nachfolgend rekursiv definierten Folge ohne den Grenzwert zu bestimmen

Question

könnte jemand bitte so nett sein und mir bei der Aufgabe weiterhelfen.

Aufgabe:

Zeigen sie die Konvergenz der nachfolgend rekursiv definierten Folge ohne den Grenzwert zu bestimmen.

a₀ :=2 und a_n+1 :=    $$\frac{2a_{n}}{1+a_{n}}$$

Mfg

Answer 1

Hallo :-)

Du musst zwei Sachen zeigen:

1.) $a_n$ ist beschränkt (nachoben und nachunten).

2.) $a_n$ ist monoton (entweder wachsend oder fallend).

Answer 2

Variante 1: Stelle fest, dass die Folge monoton fällt, aber die Folgenglieder nicht negativ werden können.

Variante 2: Untersuche den Quotienten $\frac{a_{n+1}}{a_n}$.

Variante 3: Schreibe $\frac{2a_{n}}{1+a_{n}}$ als $\frac{2+2a_{n}-2}{1+a_{n}}$ und denke nach.