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Aufgabe 26 (Pflichtaufgabe)
a) Gegeben sei die Funktion \( \vec{f}:(0, \infty) \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) mit
$$ \vec{f}(x, y)=\left(\begin{array}{c} \cosh (x) \cos (y) \\ \sinh (x) \sin (y) \end{array}\right) $$
Zeigen Sie die folgenden Aussagen:
i) \( \vec{f} \) ist nicht injektiv.
ii) In jedem Punkt des Definitionsbereiches existiert die lokale Umkehrabbildung von \( \vec{f} \)
Ist dies ein Widerspruch? Schränken Sie den Definitionsbereich geeignet ein, um eine injektive Funktion zu erhalten.
b) Gegeben seien die Funktionen \( \vec{g}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) und \( \vec{h}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) mit
$$ \vec{g}(x, y)=\left(\begin{array}{c} 2 y e^{2 x} \\ x e^{y} \end{array}\right) \quad \text { und } \quad \vec{h}(x, y)=\left(\begin{array}{c} 3 x-y^{2} \\ 2 x+y \\ x y+y^{3} \end{array}\right) $$
i) Zeigen Sie, dass \( \vec{g} \) um den Punkt \( \vec{a}=(0,1) \) lokal bijektiv ist.
ii) Berechnen Sie \( D\left(\vec{h} \circ(\vec{g})^{-1}\right)(2,0) \).

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Alulgabe 26
a) \( \vec{\rho}:(0, \infty) \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) mit \( \quad f(x, y)=\left(\begin{array}{cc}\cos h(x) & \cos (y) \\ \sin (x) & \sin (y)\end{array}\right) \)
Zeigen rie :
i) \( \bar{\rho} \) iot nicht injeativ
ii) In jecem Ponut des Defimitions berelichs exiotieit clie lobale Umhehrabbilewry von \( \overrightarrow{1} \) Definifionabereici geeignet eingchränten um eine injelive Funkton av erhalten
\( f(x, y)=\left(\begin{array}{c}\operatorname{cog} h(x) \cos (y) \\ \sin h(x) \sin (y)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}11 \\ 12\end{array}\right) \)
\( \left.f_{x}(x, y)=\left(\begin{array}{c}\sin (x) \cos (y) \\ \operatorname{cogh}(x) \sin (y)\end{array}\right)\right] \)
\( \left.\operatorname{ly}(x, y)=\left(\begin{array}{c}-\cos (x) \sin (\gamma) \\ \sinh (x) \cos (y)\end{array}\right)\right] \)
det \( J p(x, y)=\frac{1}{2}(\cosh (\alpha x)-\cos (2 y)) \)
differenierbare Uminctrabilany \( \vec{g}: \operatorname{sg}(\rho(x, y))= \) \( \frac{1}{2}(\cos h(\alpha x)-\cos (\lambda y))\left(\begin{array}{ccc}\sin \lambda(x) \cos (y) & -\cosh (x) \sin (y) \\ \cos \lambda(x) & \sin (y) & \sin (x) \cos (y)\end{array}\right) \)



Problem/Ansatz:

Habe Frage zu obiger Aufgabe.

Mein Ansatz (für a) ist es wie auch zu sehen zunächstmal die Jacobi matrix und dann die differenzierbare Umkehrabbildung zu bilden, jedoch weiss ich weder ob dies ein richtiger Ansatz ist noch wie ich weiter machen kann von hier aus.

Falls ihr eventuell die Lösung zu dieser Aufgabe (a) und b)) für mich hättet wäre das ideal.

Liebe Grüße und danke für alle Antworten!

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1 Antwort

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a)

i)

Salopp gesprochen bedeutet Injektivität: "Wenn das gleiche rauskommt, wurde auch das gleiche reingesteckt"

Eine Funktion ist entsprechend nicht injektiv, wenn man mit zwei verschiedenen Inputs, ein und denselben Output bekommt. Nun sind aber die trigonometrischen Funktionen \(2\pi\)-periodisch. Daher lässt sich leicht ein Beispiel konstruieren, bei dem das oben nicht mehr gilt. Setzen wir mal \(x=0\) fix, dann gilt für die obere Teilfunktion \(\cosh(0)\sin(y)=\cos(y)\) und für die untere \(\sinh(0)\cdot \sin(y)=0\). Nun kannst du also z. B. \(y=0\) wählen und \(y=2\pi\), also die beiden Punkte \((0,0)\) und \((0,2\pi)\). Der Kosinus ist hier beide mal gleich 1.

Es gilt im Widerspruch zur Injektivität:$$f(0,0)=\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}=f(0,2\pi)$$ ii)

Hier verwendest du einfach den lokalen Umkehrssatz. Du musst zeigen, dass die Jacobi-Matrix in jedem Punkt invertierbar ist - hierzu weise nach, dass die Determinante für alle Punkte ungleich 0 ist.

PS: Kein Widerspruch! Globale Injektivität ist ungleich lokaler Injektivität.

b)

i) Ebenfalls eine Anwendung des lokalen Umkehrsatzes. Wenn die Jacobi-Matrix von \(g\) in dem Punkt invertierbar ist, d. h. die Detereminante ungleich null, dann gibt es eine offene Umgebung \(U\) um den Punkt und eine Umgebung \(g(U)\) um dessen Bildpunkt, so dass zwischen diesen Umgebungen ein \(C^1\)-Diffeomorphismus (die Einschränkung von \(g\) auf \(U\)) vermittelt. Ein Diffeomorphismus ist per definitonem bijektiv.

ii) Anwenden der Mehrdimensionalen Kettenregel in Kombination mit dem lokalen Umkehrsatz, der besagt, dass \(J_g(g(x))=J_g(x)^{-1}\).

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Vielen dank für deine sehr ausführliche Antwort aber ein paar fragen habe ich noch :

- wenn ich beweisen soll das die Determinante ungleich null ist reicht es wenn als ergebnis nicht null rauskommt ? oder muss ich durch ein beweisbeispiel das irgendwie zeigen bspw das ich x=0 einsetze oder y=0 und schaue ob = 0 rauskommen könnte.


- zu deiner b) erklärung : wenn es ginge könntest du mir eventuell genauer erklären was es mit der offenen Umgebung auf sich hat und wie ich diese Ermittle?


- zur a i) fasse ich also richtig auf das man durch pures überlegtes einsetzen an die Lösung kommen soll in solchen Aufgaben? oder gibt es einen Rechnerischen Vorgang den du bei der Erklärung übersprungen hast?


Danke nochmal!

- zur a i) fasse ich also richtig auf das man durch pures überlegtes einsetzen an die Lösung kommen soll in solchen Aufgaben? oder gibt es einen Rechnerischen Vorgang den du bei der Erklärung übersprungen hast?

Überlegtes Einsetzen trifft es ganz gut. Du weißt einfach, dass die beiden trigononmetrischen Funktionen periodisch sind. Mir ist gerade aufgefallen, dass \(x\in (0,\infty)\) nach Definition und ich somit gar nicht \(x=0\) festhalten kann. Es lässt sich das gleiche aber auch für \(x=1\) machen.

- wenn ich beweisen soll das die Determinante ungleich null ist reicht es wenn als ergebnis nicht null rauskommt ? oder muss ich durch ein beweisbeispiel das irgendwie zeigen bspw das ich x=0 einsetze oder y=0 und schaue ob = 0 rauskommen könnte.

Zeig am besten Mal, wie du gerechnet hast.

- zu deiner b) erklärung : wenn es ginge könntest du mir eventuell genauer erklären was es mit der offenen Umgebung auf sich hat und wie ich diese Ermittle?

Du musst die nicht explizit angeben. Du beweist die Existenz. Genaueres findest du hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_der_impliziten_Funktion#Satz_von_der_Umkehrabbildung


sieht man die handschriftliche pdf nicht?

Achso,

schreib das ganze mal mit der Definition vom Kosinus Hyperbolicus auf, du wirst sehen, dass das nie null wird.

Okay habe ich vielen dank!

Eine Frage noch zur b ii) und zwar, besagt diese Kettenregel ja das ich hier g in h einsetze, jedoch invertiert oder?

wie genau gehe ich das bei der Aufgabe an?


Danke nochmal!

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