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Aufgabe:

Wie bestimme ich den Summenwert der geoemtrische Reihe?

Wie kann man das schritt für Schritt lösen?

n=1(18)n1 \sum\limits_{n=1}^{\infty}{{(-\frac{1}{8})}^{n-1}}

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Aloha :)

Hier kann eine Indexverschiebung helfen:

n=1(18)n1=n=0(18)n=11(18)=198=89\sum\limits_{n=1}^\infty\left(-\frac{1}{8}\right)^{n-1}=\sum\limits_{n=0}^\infty\left(-\frac{1}{8}\right)^{n}=\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{8}\right)}=\frac{1}{\frac{9}{8}}=\frac{8}{9}

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Danke, aber wie kommst du auf die Lösung nach den Summenzeichen auf diesen Bruch 1/1-(-1/8)

Wie leitet man die Summenformel her?

Die Herleitung der Summenformel kannst du z.B. so machen. Du definierst:SNn=0NqnS_N\coloneqq\sum\limits_{n=0}^Nq^nund berechnest dann den folgenden Ausdruck:SNqSN=n=0Nqnqn=0Nqn=n=0Nqnn=0Nqn+1S_N-q\cdot S_N=\sum\limits_{n=0}^Nq^n-q\cdot\sum\limits_{n=0}^Nq^n=\sum\limits_{n=0}^Nq^n-\sum\limits_{n=0}^Nq^{n+1}SNqSN=n=0Nqnn=1N+1qn=(q0+n=1Nqn)(n=1Nqn+qN+1)\phantom{S_N-q\cdot S_N}=\sum\limits_{n=0}^Nq^n-\sum\limits_{n=1}^{N+1}q^n=\left(q^0+\sum\limits_{n=1}^Nq^n\right)-\left(\sum\limits_{n=1}^{N}q^n+q^{N+1}\right)Die beiden Summen heben sich nun raus und es bleibt übrig:SNqSN=q0qN+1=1qN+1S_N-q\cdot S_N=q^0-q^{N+1}=1-q^{N+1}Jetzt kannst du links SNS_N ausklammern und findest dann:(1q)SN=1qN+1(1-q)\cdot S_N=1-q^{N+1}SN=1qN+11qS_N=\frac{1-q^{N+1}}{1-q}Wenn nun q<1|q|<1 ist, konvergiert qN+1q^{N+1} für NN\to\infty gegen 00 und wir können den Grenzwert angeben:S=n=0qn=11q;q<1S_\infty=\sum\limits_{n=0}^\infty q^n=\frac{1}{1-q}\quad;\quad |q|<1Jetzt musst du nur noch q=18q=-\frac{1}{8} einsetzen und hast das Ergebnis.

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a0= (-1/8)0 = 1, q= -1/8

nach Summenformel ergibt sich:

1/(1-(-1/8)) = 1/(9/8) = 8/9

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Was ist die Summenformel?

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Hallo,

Wie kann man das schritt für Schritt lösen?

also ohne Kenntnis der Formel für die geometrische Reihe.

Betrachte dazu zwei Reihen, bei der man bei einer die Basis ausklammert und dann beide von einander abzieht. Ganz konkret sieht das in diesem Fall so aus. Ich setze zunächstn=1(18)n1=x\sum\limits_{n=1}^\infty\left(-\frac{1}{8}\right)^{n-1}=x und dann bilde ich eine zweite Reihe, hier z.B. indem ich das erste Element heraus ziehex=1+n=2(18)n1=1+(18)n=2(18)n2=1+(18)n=1(18)n1x=1x8+x898x=189x=89\begin{aligned} x &= 1 + \sum\limits_{n=2}^\infty\left(-\frac{1}{8}\right)^{n-1} \\ &= 1 + \left(-\frac{1}{8}\right)\sum\limits_{n=2}^\infty\left(-\frac{1}{8}\right)^{n-2} \\ &= 1 + \left(-\frac{1}{8}\right)\sum\limits_{n=1}^\infty\left(-\frac{1}{8}\right)^{n-1} \\ x &= 1 - \frac x8 &&\,\left|+ \frac x8\right.\\ \frac 98 x &= 1 &&\,\left|\, \cdot \frac 89\right.\\ x &= \frac 89 \end{aligned} nach dem gleichen Verfahren kannst Du auch ganz allgemein, die Summenformel der geometrischen Reihe herleiten.

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