berechnen das Doppelintegral

Question

Aufgabe: Skizzieren Sie das Integrationsgebiet $G$ und berechnen Sie das Doppelintegral $\iint_{(G)} f(x, y) \mathrm{d} A$ in Polarkoordinaten für $f(x, y)=\frac{x}{y}$ und $G$ Kreissektor mit Radius $r=2$ und $45^{\circ} \leq \varphi \leq 90^{\circ}$.

Problem/Ansatz:

Hinweis: Führen Sie bei der äußeren Integration eine Substitution durch!

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Skizzieren von Doppelintegral

Stichworte: doppelintegral,zeichnen,skizze

Aufgabe:

Skizzieren Sie das Integrationsgebiet $G$  $\iint_{(G)} f(x, y) \mathrm{d} A$ in Polarkoordinaten für $f(x, y)=\frac{x}{y}$ und $G$ Kreissektor mit Radius $r=2$ und $45^{\circ} \leq \varphi \leq 90^{\circ}$.

Problem/Ansatz: Könnte mir jemand zeigen, wie das auszusehen hat (die Skizze)?

Answer 1

Aloha :)

In Polarkoordinaten können wir den Kreissektor $G$ wie folgt abtasten:$$\vec r=\binom{x}{y}=\binom{r\cos\varphi}{r\sin\varphi}\quad;\quad r\in[0;2]\quad;\quad\varphi\in\left[\frac\pi4\,\big|\,\frac\pi2\right]$$Das Flächenelement in Polarkoordinaten ist:$$dA=r\,dr\,d\varphi$$Damit haben wir alles zusammen, um das Doppelintegral zu berechnen:

$$I=\iint\limits_G\frac xy\,dA=\int\limits_{r=0}^2\;\,\int\limits_{\varphi=\pi/4}^{\pi/2}\frac{r\cos\varphi}{r\sin\varphi}\,r\,dr\,d\varphi=\int\limits_0^2r\,dr\int\limits_{\pi/4}^{\pi/2}\frac{\cos\varphi}{\sin\varphi}\,d\varphi$$$$\phantom{I}=\left[\frac{r^2}2\right]_0^2\cdot\left[\ln\left|\sin\varphi\right|\right]_{\pi/4}^{\pi/2}=\frac{4}{2}\cdot\left(\ln(1)-\ln\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)\right)=2\ln(\sqrt2)=2\cdot\frac{1}{2}\ln(2)$$$$\phantom{I}=\ln(2)$$

Comments

Hallo ,

erstmal Danke die Antwort ist richtig, aber wie haben Sie das Feld berechnet?
Können Sie die Zeichnung für mich und den Bereich in der Zeichnung zur Veranschaulichung zeichnen?

Answer 2

Hallo

den Kreissektor des Kreises mit Radius 2 der  oberhalb der 45° zur x-Achse und rechts von der y-Achse ist kannst du doch wohl zeichnen, dann die Grenzen von x=1/2√2 bis 0 y von x bist √(1-x²

oder in Polarkoordinaten f(x,y)=cos(φ)/sin(φ) dA=rdφdr r von 0 bis 2,  φ von pi/4 bis pi/2

Grus lul

Comments

Hi

Also meinst du vom 0 bis 2 und danach mache ich vom pi/4 bis pi/2

und die Fläche A muss dazwischen sein.

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Ja, hast du das denn noch nicht gezeichnet?

lul

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Doch habe es jetzt gezeichnet, aber ich weiß nicht, ob es richtig oder falsch ist.

ich machte wie ich verstand.

LG

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Hallo

das kann ich ja ach nicht wissen, ohne deine Zeichnung.

du schreibst "Also meinst du vom 0 bis 2 und danach mache ich vom pi/4 bis pi/2" das ist keine  vollständige Beschreibung.  man muss schon sagen was  von 0 bis 2 usw.

du könntest z. B, einfach dein Integral hinschreiben!

lul

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Das Problem ist, dass es sich um eine Zeichnung handelt, also beschreibe die Beschreibung in Worten hahah.

LG