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Aufgabe: Untersuchen Sie, ob folgende Reihe konvergent ist

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \) = 1/n+n^2


Problem/Ansatz: Mein Problem ist das ich nicht genau weiß wie der Ansatz zum rechnen ist, ich habe schon einiges angeschaut aber werde einfach nicht schlau.

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Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Wenn wir den Nenner kleiner machen, vergrößern wir den Bruch, daher gilt folgende Abschätzung:

$$S_N=\sum\limits_{n=1}^N\frac{1}{n+n^2}<\sum\limits_{n=1}^N\frac{1}{n^2}=\frac{1}{1^2}+\sum\limits_{n=2}^N\frac{1}{n^2}\le1+\sum\limits_{n=2}^N\frac{1}{n(n-1)}$$$$\phantom{S_N}=1+\sum\limits_{n=2}^N\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)=1+\sum\limits_{n=2}^N\frac{1}{n-1}-\sum\limits_{n=2}^N\frac{1}{n}=1+\sum\limits_{n=1}^{N-1}\frac{1}{n}-\sum\limits_{n=2}^N\frac{1}{n}$$$$\phantom{S_N}=1+\left(\frac{1}{1}+\sum\limits_{n=2}^{N-1}\frac{1}{n}\right)-\left(\sum\limits_{n=2}^{N-1}\frac{1}{n}+\frac{1}{N}\right)=2-\frac{1}{N}$$Daher gilt:$$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n+n^2}=\lim\limits_{N\to\infty}S_N<\lim\limits_{N\to\infty}\left(2-\frac1N\right)=2$$

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Dankeschön für Ihre Hilfe

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Hallo

du meinst wohl $$\sum \limits_{n=01}^{\infty}\frac{1}{n^2+n}$$

da ist das Majorantenkriterium doch sehr einfach, wenn man weiss dass $$\sum \limits_{n=01}^{\infty}\frac{1}{n^2}$$ konvergiert.

Gruß lul

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Danke für deine Antwort, könntest du mir vielleicht kurz erklären wie man mit dem Majorantenkriterium rechnet?

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