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Aufgabe: Untersuchen Sie, ob folgende Reihe konvergent ist

n=1 \sum\limits_{n=1}^{\infty} = 1/n+n^2


Problem/Ansatz: Mein Problem ist das ich nicht genau weiß wie der Ansatz zum rechnen ist, ich habe schon einiges angeschaut aber werde einfach nicht schlau.

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Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Wenn wir den Nenner kleiner machen, vergrößern wir den Bruch, daher gilt folgende Abschätzung:

SN=n=1N1n+n2<n=1N1n2=112+n=2N1n21+n=2N1n(n1)S_N=\sum\limits_{n=1}^N\frac{1}{n+n^2}<\sum\limits_{n=1}^N\frac{1}{n^2}=\frac{1}{1^2}+\sum\limits_{n=2}^N\frac{1}{n^2}\le1+\sum\limits_{n=2}^N\frac{1}{n(n-1)}SN=1+n=2N(1n11n)=1+n=2N1n1n=2N1n=1+n=1N11nn=2N1n\phantom{S_N}=1+\sum\limits_{n=2}^N\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)=1+\sum\limits_{n=2}^N\frac{1}{n-1}-\sum\limits_{n=2}^N\frac{1}{n}=1+\sum\limits_{n=1}^{N-1}\frac{1}{n}-\sum\limits_{n=2}^N\frac{1}{n}SN=1+(11+n=2N11n)(n=2N11n+1N)=21N\phantom{S_N}=1+\left(\frac{1}{1}+\sum\limits_{n=2}^{N-1}\frac{1}{n}\right)-\left(\sum\limits_{n=2}^{N-1}\frac{1}{n}+\frac{1}{N}\right)=2-\frac{1}{N}Daher gilt:n=11n+n2=limNSN<limN(21N)=2\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n+n^2}=\lim\limits_{N\to\infty}S_N<\lim\limits_{N\to\infty}\left(2-\frac1N\right)=2

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Dankeschön für Ihre Hilfe

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Hallo

du meinst wohl n=011n2+n\sum \limits_{n=01}^{\infty}\frac{1}{n^2+n}

da ist das Majorantenkriterium doch sehr einfach, wenn man weiss dass n=011n2\sum \limits_{n=01}^{\infty}\frac{1}{n^2} konvergiert.

Gruß lul

Avatar von 108 k 🚀

Danke für deine Antwort, könntest du mir vielleicht kurz erklären wie man mit dem Majorantenkriterium rechnet?

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