Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
zu a) Eine quadratsiche Matrix hat vollen Rang, wenn ihre Determinante \(\ne0\) ist:
$$\left|\begin{array}{rrr}1 & 2 & 1\\1 & r & 1\\1 & r & 2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rrr}1 & 2 & 0\\1 & r & 0\\1 & r & 1\end{array}\right|=r-2$$Für \(r\ne2\) hat die Matrix den vollen Rang \(3\).
Für \(r=2\) sind die erste und zweite Spalte kollinear, die Matrix hat dann nur noch Rang \(2\).
zu b) Für \(r\ne2\) ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, weil die Matrix invertierbar ist und so die eindeutige Lösung \(x=A^{-1}\cdot b\) berechnet werden kann. Für \(r=2\) gilt:$$\begin{array}{rrr|c|l}x & y & z & = &\text{Aktion}\\\hline1 & 2 & 1 & 1 &\\1 & 2 & 1 & 1 &-\text{Zeile 1}\\1 & 2 & 2 & 2 &-\text{Zeile 1}\\\hline1 & 2 & 1 & 1 &-\text{Zeile 3}\\0 & 0 & 0 & 0 &\\0 & 0 & 1 & 1 &\\\hline1 & 2 & 0 & 0 &\Rightarrow x+2y=0\\0 & 0 & 0 & 0 &\\0 & 0 & 1 & 1 &\Rightarrow z=1\end{array}$$Das heißt, für \(r=2\) gibt es unendlich viele Lösugen:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2y\\y\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}-2\\1\\0\end{pmatrix}$$
zu c) Das hatten wir schon oben. Für \(r\ne2\) ist die Lösung eindeutig.
