Vereinfachen Komplexe Zahl

Question

Aufgabe:

Vereinfachen Sie den Ausdruck für:

z = $\frac{(5+\sqrt{3i})*(5-\sqrt{3i})}{2+\sqrt{3i}}$ 

soweit wie möglich.

Und folgend soll der Real und Imaginärteil angegeben werden.

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Problem/Ansatz:

Ich habe im Zähler die 3. binomische Formel verwendet...

kam somit auf: z = $\frac{5^2-3i}{2+\sqrt{3i}}$

Dann --> z = $\frac{25-3i}{2+\sqrt{3i}}$

Ist dann: Re(?) und

             Im(-$\frac{3i}{2+\sqrt{3i}}$)?

Kann man hier weiter umformen? (Muss ich an der Stelle den Bruch erweitern oder wäre das nur bei der "Berechnung" notwendig?)
Und wie bekomme ich den Realteil raus bzw. den richtigen Im-Teil.

Vielen Dank im Voraus!! :D

Mit freundlichsten Grüßen
Der, der will - aber nicht kann.

Comments

steht das i wirklich unter der Wurzel?

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Ja, leider gehört es laut Aufgabenstellung unter die Wurzel!

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

In der Vorstellung ist $\sqrt i$ sofort klar. In der Gauß'schen Zahlenebene liegt die imaginäre Einheit bei $\binom{0}{1}$. Beim Ziehen der Wurzel, bleibt der Betrag erhalten. denn $\sqrt 1=1$. Allerdings wird der Winkel von $90^\circ$ um die Hälfte auf $45^\circ$ zurück gedreht. Daher sollte gelten:$$\sqrt i=\frac{1+i}{\sqrt2}$$Wir prüfen das kurz nach:$$\left(\frac{1+i}{\sqrt2}\right)^2=\frac{1+2i+i^2}{2}=\frac{1+2i-1}{2}=\frac{2i}{2}=i\quad\checkmark$$Damit gehen wir in die Umformung:

$$\phantom{=}\frac{(5+\sqrt{3i})(5-\sqrt{3i})}{2+\sqrt{3i}}=\frac{(25-3i)(2-\sqrt{3i})}{(2+\sqrt{3i})(2-\sqrt{3i})}=\frac{(25-3i)(2-\sqrt{3i})}{4-3i}$$$$=\frac{(4+3i)(25-3i)(2-\sqrt{3i})}{(4+3i)(4-3i)}=\frac{(100+75i-12i-9i^2)(2-\sqrt{3i})}{4^2-(9i^2)}$$$$=\frac{(109+63i)(2-\sqrt{3i})}{25}=\frac{(109+63i)(2-\sqrt3\cdot\frac{1+i}{\sqrt2})}{25}$$$$=\frac{(109+63i)\left(\left(2-\sqrt{\frac32}\right)-\sqrt{\frac32}\,i\right)}{25}$$$$=\frac{109\left(2-\sqrt{\frac32}\right)+63\left(2-\sqrt{\frac32}\right)i-109\sqrt{\frac32}\,i-63\sqrt{\frac32}\,i^2}{25}$$$$=\frac{\left(218-46\sqrt{\frac32}\right)+\left(126-172\sqrt{\frac32}\right)i}{25}$$$$=\frac{218-46\sqrt{\frac32}}{25}+\frac{126-172\sqrt{\frac32}}{25}\cdot i$$

Comments

Vielen dank, dass Sie sich die Zeit genommen haben mein Frage - so ausfürlich zu beantworten!

Bleiben Sie gesund! :D

Answer 2

Erweitere mit der komplex konjugierten des Nenners.

Comments

Du meinst quasi

... * $\frac{2-\sqrt{3i}}{2-\sqrt{3i}}$?

Ich hab große Probleme damit alle Rechenregeln dabei zu beachten.

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Dann käme ja für :

$\frac{25-3i}{2+\sqrt{3i}}$ * $\frac{2-\sqrt{3i}}{2-\sqrt{3i}}$= 

$\frac{50-25\sqrt{3i}-6i+3i\sqrt{3i}}{4-3i}$

...raus, oder?!

Und wie mache ich dann weiter?

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.................gelöscht