Zeige mit Hilfe der Definition der Stetigkeit, dass die Funktion f : ℝ → ℝ mit

Question

Aufgabe:

Zeige mit Hilfe der Definition der Stetigkeit, dass die Funktion f : ℝ → ℝ mit
$\frac{1}{1+√|x|}$
im Punkt $x_{0}$ = 0 stetig ist.

Mein Lösung:

Wir wollen zeigen: ∀ε > 0 ∃δ> 0 ∀x∈ℝ: |x - $x_{0}$| < δ ⇒ |f(x)-f($x_{0}$)| < ε

Sei ε > 0 beliebig und $x_{0}$ = 0. Wähle dann δ(ε) = $ε^{2}$. Denn dann gilt für alle x∈($x_{0}$-δ,$x_{0}$+δ):

|f(x)-($x_{0}$)| = |$\frac{1}{1+√|x|}$ - $\frac{1}{1+√|x_{0}|}$| = |$\frac{1}{1+√|x|}$ - 1| = |$\frac{1 - 1 - √|x|}{1+√|x|}$|

= |$\frac{-√|x|}{1+√|x|}$| = √|x| * |$\frac{1}{1+√|x|}$| ≤ √|x| = √|x-$x_{0}$| < √δ ≤ ε .

Ist die Lösungsstrategie korrekt ?

Comments

Hallo,

ja, das ist korrekt.

gruß Mathhilf

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In $\left\vert f(x)-( x_{0}) \right\vert$ fehlt ein f.

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Ja, das Gehirn sieht mehr als die Augen ;-)

Answer 1

Hallo

Ja dein Beweis ist gut und richtig

lu

Answer 2

1 / ( 1 +√ | x | )
bei x = 0 stetig ?

lim x -> 0+ für [ | x | ]
dürfte doch dasselbe sein wie
lim x -> 0- für [ | x | ]

Das dürfte für den gesamten Term gelten.
links- und rechtsseitiger Grenzwert ist gleich
= Stetigkeit.