Wie berechne ich die Richtung mit v = 1 des größten Anstiegs von f im Punkt (1,-1,1)?

Question

Gegeben ist die Funktion f : ℝ³  →  ℝ mit f (x,y,z) = e^{(x-1)^(2)} + 10 arctan (y²z+x).

Berechne die Richtung v = \( \begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix} \) mit ιιvιι = 1 des stärksten Anstiegs von f im Punkt (1,-1,1).

Es ist \( \sqrt{6a} \) = ________       \( \sqrt{6b} \) =   _________         \( \sqrt{6c} \) = ________

Wie berechne ich das weiter?

Ich habe schon den Gradienten der Funktion ausgerechnet und die Werte eingesetzt aber weiter komme ich nicht.

x = 10 / (1+(-1)²*1)²+1 + 2e^{(1-1)^2}(1-1)     = 2

y = 20*(-1)*1 / (1+(-1)²*1)²+1                    = -4

z = 10*(-1)^2 / (1+(-1)²*1)²+1                    = 2

Dann habe ich \( \begin{pmatrix} 2\\-4\\2 \end{pmatrix} \) normiert und bekam 2\( \sqrt{6} \) heraus.

Answer 1

Aloha :)

Der Gradient einer Funktion zeigt immer in Richtung des stärksten Anstiegs. Daher bestimmen wir zuerst die partiellen Ableitungen. Mit \(\arctan'(x)=\frac{1}{1+x^2}\) erhalten wir:$$\frac{\partial f}{\partial x}=2(x-1)e^{(x-1)^2}+\frac{10}{1+(y^2z+x)^2}$$$$\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{10\cdot2yz}{1+(y^2z+x)^2}$$$$\frac{\partial f}{\partial z}=\frac{10\cdot y^2}{1+(y^2z+x)^2}$$und setzen die Koordinaten des Punktes \((1;-1;1)\) ein und erhalten:$$\operatorname{grad}f(1;-1;1)=\begin{pmatrix}2\\-4\\2\end{pmatrix}$$Die Länge des Gradienten ist \(\sqrt{4+16+4}=\sqrt{24}=\sqrt4\cdot\sqrt6=2\sqrt6\). Die Richtung des stärksten Anstiegs ist der normierte Gradienten:

$$\vec v=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=\frac{1}{2\sqrt6}\begin{pmatrix}2\\-4\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1/\sqrt6\\-2/\sqrt6\\1/\sqrt6\end{pmatrix}$$

Wir lesen daraus ab:$$\sqrt6\cdot a=1\quad;\quad\sqrt6\cdot b=-2\quad;\quad\sqrt6\cdot c=1$$

In der Aufgabenstellung geht das Wurzelzeichen bis über die Variablen hinaus, das macht aber keinen Sinn. Prüfe mal bitte, ob du dich da vielleicht vertippt hast.

Comments

Dankeschön!!

Und was das Wurzelzeichen angeht, ja das stimmt habe mich vertippt..gerade nachgeschaut und es sollte \( \sqrt{6} \)a usw heißen.

Eine Frage hätte ich, man berechnet ja \( \frac{1}{2 Wurzel 6} \) * 2 usw, bei mir bekomme ich jedoch nicht die Ergebnisse, die du hast oder muss man das anderes berechnen?

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Du musst die Ergebnisse noch umstellen:$$a=\frac{1}{2\sqrt6}\cdot2=\frac{1}{\sqrt6}\implies\sqrt6\cdot a=1$$

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Also ich rechne das auch mit einem Rechner die \( \frac{1}{2Wurzel6} \) *  2 und ich bekomme \( \frac{Wurzel6}{6} \) heraus und nicht \( \frac{1}{Wurzel6} \) , muss man dieses Ergebnis ebenfalls irgendwie umändern ...

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Das stimmt ja auch ;)$$\frac{1}{2\sqrt6}\cdot2=\frac{1}{\sqrt6}=\frac{1\cdot\sqrt6}{\sqrt6\cdot\sqrt6}=\frac{\sqrt6}{6}$$

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Und wie komme ich dann bei   - \( \frac{Wurzel6}{3} \)   auf   - \( \frac{-2}{Wurzel6} \)  ?

Sorry für die vielen Fragen...

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$$\frac{\sqrt6}{3}=\frac{2\cdot\sqrt6}{2\cdot3}=\frac{2\sqrt6}{6}=\frac{2\cdot\cancel{\sqrt6}}{\sqrt6\cdot\cancel{\sqrt6}}=\frac{2}{\sqrt6}$$